의무 논리

의무 논리(deontic logic) 또는 규범 논리는 의무, 허용, 그리고 관련 개념을 다루는 철학적 논리학의 한 분야이다. 다르게 말하면, 의무 논리는 이러한 개념들의 본질적인 논리적 특징을 포착하려는 형식 체계이다. 이는 명령 논리 또는 자연어의 의무 양상을 형식화하는 데 사용될 수 있다. 일반적으로 의무 논리에서 OA는 A가 의무적임을 (또는 A가 그러해야 함을) 의미하고, PA는 A가 허용됨을 (또는 허용 가능함을) 의미하며, 이는 ${\displaystyle PA\equiv \neg O\neg A}$로 정의된다.

자연어에서 "당신은 동물원에 가거나 공원에 갈 수 있습니다"라는 문장은 ${\displaystyle Pz\lor Pp}$ 대신 ${\displaystyle Pz\land Pp}$로 이해되어야 한다. 왜냐하면 이 문장은 두 가지 선택지 모두 허용됨을 의미하기 때문이다. 논의 영역에 여러 행위자가 포함될 때, 의무론적 양상 연산자는 각 행위자에 대해 그들의 개별 의무와 허용을 표현하도록 지정될 수 있다. 예를 들어, 행위자 ${\displaystyle a_{i}}$에 대해 아래첨자 ${\displaystyle O_{i}}$를 사용하면, ${\displaystyle O_{i}A}$는 "행위자 ${\displaystyle a_{i}}$에게 A를 이행하는 것이 의무이다"를 의미한다. ${\displaystyle A}$는 다른 행위자의 행동으로 명시될 수 있다는 점에 유의하라. 한 가지 예시는 "아담에게는 밥이 차를 들이받지 않는 것이 의무이다"이며, 이는 ${\displaystyle O_{Adam}B}$로 표현될 수 있으며, 여기서 B는 "밥이 차를 들이받지 않는다"이다.

어원

"의무론적(deontic)"이라는 용어는 고대 그리스어: δέον (속격: 고대 그리스어: δέοντος)에서 파생되었는데, 이는 "구속력 있는 또는 적절한 것"을 의미한다.

표준 의무 논리

게오르크 헨리크 폰 라이트의 첫 번째 시스템에서, 의무성과 허용성은 행위의 특징으로 다루어졌다. 곧이어 명제 의무 논리가 간단하고 우아한 크립케 스타일 의미론을 가질 수 있다는 것이 발견되었고, 폰 라이트 자신도 이 운동에 동참했다. 이렇게 정의된 의무 논리는 "표준 의무 논리"로 알려지게 되었으며, 종종 SDL, KD, 또는 단순히 D로 불린다. 이는 고전 명제 논리의 표준 공리화에 다음 공리들을 추가하여 공리화할 수 있다.

${\displaystyle (\models A)\rightarrow (\models OA)}$

${\displaystyle O(A\rightarrow B)\rightarrow (OA\rightarrow OB)}$

${\displaystyle OA\to PA}$

영어에서 이 공리들은 각각 다음과 같이 말한다.

• 만약 A가 항진식이라면, A여야 한다 (필요성 규칙 N). 즉, 모순은 허용되지 않는다.
• 만약 A가 B를 함의해야 한다면, A가 그러해야 한다면 B도 그러해야 한다 (양상 공리 K).
• 만약 A가 그러해야 한다면, A는 허용된다 (양상 공리 D). 즉, A가 허용되지 않는다면, A는 의무가 아니다.

A가 금지됨을 의미하는 FA는 ${\displaystyle O\lnot A}$ 또는 ${\displaystyle \lnot PA}$로 (동등하게) 정의될 수 있다.

SDL에는 일반적으로 두 가지 주요 확장이 고려된다. 첫 번째는 "해야 한다면 할 수 있다"는 칸트적 주장을 표현하기 위해 인식 양상 연산자 ${\displaystyle \Box }$를 추가하는 결과이다.

${\displaystyle OA\to \Diamond A.}$

여기서 ${\displaystyle \Diamond \equiv \lnot \Box \lnot }$이다. 일반적으로 ${\displaystyle \Box }$는 적어도 KT 연산자이지만, 가장 일반적으로는 S5 연산자로 간주된다. 실제 상황에서 의무는 보통 미래 사건을 예상하여 할당되며, 이 경우 인식적 가능성을 판단하기 어려울 수 있다. 따라서 의무 할당은 미래의 다른 시간선 분기에 대한 다른 조건들을 가정하여 수행될 수 있으며, 과거의 의무 할당은 시간선을 따라 발생한 예기치 못한 전개로 인해 업데이트될 수 있다.

다른 주요 확장은 "조건부 의무" 연산자 O(A/B)를 추가하는 결과로, "B를 조건으로 할 때 A는 의무이다"라고 읽는다. 조건부 연산자에 대한 동기는 다음 ("착한 사마리아인") 사례를 고려함으로써 주어진다. 굶주리고 가난한 사람들에게 음식을 제공해야 하는 것은 사실인 것 같다. 그러나 굶주리고 가난한 사람들에게 음식을 제공한다는 것은 굶주리고 가난한 사람이 존재한다는 것을 의미한다. SDL의 기본 원칙에 따라 우리는 굶주리고 가난한 사람이 존재해야 한다고 추론할 수 있다! 이 주장은 SDL의 기본 K 공리와 다음 정규 양상 논리에서 유효한 원칙 때문이다.

${\displaystyle \vdash A\to B\Rightarrow \ \vdash OA\to OB.}$

만약 우리가 의도적인 조건부 연산자를 도입한다면, 우리는 굶주린 사람들이 실제로 굶주린다는 조건 하에서만 음식을 제공해야 한다고 말할 수 있다: 기호로 O(A/B). 그러나 그러면 조건부의 일반적인 의미론(예: Lewis 73)에서는 다음 주장이 실패한다: O(A/B)와 A가 B를 함의한다는 것에서 OB를 추론한다.

실제로 단항 연산자 O는 이항 조건부 연산자 O(A/B)를 ${\displaystyle OA\equiv O(A/\top )}$으로 정의할 수 있으며, 여기서 ${\displaystyle \top }$는 기저 논리(SDL의 경우 고전 논리)의 임의의 항진식을 나타낸다.

표준 의무 논리의 의미론

가능 세계 간의 접근성 관계는 수용성 관계로 해석된다: ${\displaystyle v}$가 수용 가능한 세계(즉, ${\displaystyle wRv}$)인 것은 ${\displaystyle w}$의 모든 의무가 ${\displaystyle v}$에서 이행될 때(즉, ${\displaystyle (w\models OA)\to (v\models A)}$)에 한한다.

앤더슨의 의무 논리

앨런 R. 앤더슨(1959)은 인식 연산자 ${\displaystyle \Box }$와 어떤 제재(즉, 나쁜 것, 금지 등)를 의미하는 의무론적 상수(즉, 0항 양상 연산자) ${\displaystyle s}$를 사용하여 ${\displaystyle O}$를 정의하는 방법을 보여준다: ${\displaystyle OA\equiv \Box (\lnot A\to s)}$. 직관적으로, 이중 조건문의 우변은 A가 반드시(또는 엄밀히) 성립하지 못하면 제재를 수반한다는 것을 의미한다.

인식 연산자 ${\displaystyle \Box }$에 대한 일반적인 양상 공리(필요성 규칙 N 및 분배 공리 K) 외에, 앤더슨의 의무 논리는 의무론적 상수 ${\displaystyle s}$에 대한 한 가지 추가 공리만 필요로 한다: ${\displaystyle \neg \Box s\equiv \Diamond \neg s}$, 이는 모든 의무를 이행하고 제재를 피하는 것이 인식적으로 가능함을 의미한다. 이 버전의 앤더슨 의무 논리는 SDL과 동등하다.

그러나 인식 연산자에 대해 양상 공리 T(${\displaystyle \Box A\to A}$)가 포함되면, 앤더슨의 의무 논리에서는 ${\displaystyle O(OA\to A)}$가 증명될 수 있으며, 이는 SDL에는 포함되지 않는다. 앤더슨의 의무 논리는 의무론적 연산자 ${\displaystyle O}$와 인식 연산자 ${\displaystyle \Box }$를 필연적으로 결합시키며, 이는 특정 경우에 문제가 될 수 있다.

이항 의무 논리

의무 논리의 중요한 문제 중 하나는 조건부 의무를 적절하게 표현하는 방법이다. 예를 들어, 당신이 담배를 피운다면(s), 재떨이를 사용해야 한다(a). 다음 두 가지 표현 중 어느 것도 적절하다고 명확하게 말하기 어렵다.

${\displaystyle O(\mathrm {smoke} \rightarrow \mathrm {ashtray} )}$

${\displaystyle \mathrm {smoke} \rightarrow O(\mathrm {ashtray} )}$

첫 번째 표현에서는 만약 금지된 행위를 저지른다면, 두 번째 행위가 의무적인지, 허용되는지, 금지되는지에 관계없이 다른 어떤 행위를 저질러야 한다는 것이 공허하게 참이 된다(Von Wright 1956, Aqvist 1994에서 인용). 두 번째 표현에서는 부드러운 살인 역설에 취약하다. 즉, 그럴듯한 진술인 (1) 살인을 한다면 부드럽게 살인해야 한다, (2) 당신은 살인을 저지른다, (3) 부드럽게 살인하려면 살인해야 한다는 것이 덜 그럴듯한 진술인: 당신은 살인해야 한다는 것을 함의한다. 다른 이들은 "부드럽게 살인하려면 살인해야 한다"는 구절의 "must"가 모호한 영어 단어(함의하거나 해야 한다는 의미)의 오역이라고 주장한다. "must"를 함의한다는 뜻으로 해석하면 "당신은 살인해야 한다"고 결론 내릴 수 없고, 단지 "당신은 살인한다"는 주어진 사실의 반복일 뿐이다. "must"를 "해야 한다"는 뜻으로 오해하면 왜곡된 공리가 될 뿐, 왜곡된 논리가 아니다. 부정문을 사용하면 이 모호한 단어가 오역되었는지 쉽게 확인할 수 있다. 다음 두 영어 문장 중 "부드럽게 살인하려면 살인해야 한다"는 문장과 동등한 것은 어느 것인가: "부드럽게 살인한다면 살인하지 않는 것이 금지된다"와 동등한가 아니면 "부드럽게 살인한다면 살인하지 않는 것이 불가능하다"와 동등한가?

일부 의무 논리학자들은 이 문제를 해결하기 위해 이항 의무 논리를 개발했다. 이 논리에는 이항 의무론적 연산자가 포함된다.

${\displaystyle O(A\mid B)}$는 B가 주어졌을 때 A가 의무적임을 의미한다.

${\displaystyle P(A\mid B)}$는 B가 주어졌을 때 A가 허용됨을 의미한다.

(이 표기법은 조건부 확률을 나타내는 데 사용되는 모델을 따른다.) 이항 의무 논리는 표준(단항) 의무 논리의 일부 문제를 피하지만, 자체적인 문제점도 가지고 있다.

다른 변형

비단조 논리적 의무 논리, 초일관 논리적 의무 논리, 동적 의무 논리, 초강의적 의무 논리 등 많은 다른 종류의 의무 논리가 개발되었다.

역사

초기 의무 논리

인도의 미맘사 학파에서부터 고대 그리스의 철학자들에 이르기까지 의무론적 개념들의 형식적 논리적 관계에 대해 언급했으며^[1] 중세 말기의 철학자들은 의무론적 개념들을 인식론적 개념들과 비교했다.^[2]

고트프리트 빌헬름 라이프니츠는 그의 저서 Elementa juris naturalis(1669년에서 1671년 사이에 쓰여짐)에서 허용되는 것(licitum), 금지되는 것(illicitum), 의무적인 것(debitum), 무관한 것(indifferens) 사이의 논리적 관계가 각각 가능한 것(possibile), 불가능한 것(impossibile), 필연적인 것(necessarium), 우연적인 것(contingens) 사이의 관계와 동등하다고 언급했다.^[3]

말리의 첫 의무 논리와 폰 라이트의 첫 "그럴듯한" 의무 논리

알렉시우스 마이농의 제자인 에른스트 말리는 그의 저서 Grundgesetze des Sollens(1926)에서 처음으로 형식적인 의무 논리 체계를 제안했으며, 이는 화이트헤드와 러셀의 명제 계산의 구문에 기반을 두었다. 말리의 의무론적 어휘는 논리 상수 ${\displaystyle \cup }$와 ${\displaystyle \cap }$, 단항 연결사 ${\displaystyle$ !} , 그리고 이항 연결사 ${\displaystyle f}$와 ${\displaystyle \infty }$로 구성되었다.

* 말리는 ${\displaystyle !A}$를 "A가 그러해야 한다"로 읽었다.
* 그는 ${\displaystyle AfB}$를 "A는 B를 요구한다"로 읽었다.
* 그는 ${\displaystyle A\infty B}$를 "A와 B는 서로를 요구한다"로 읽었다.
* 그는 ${\displaystyle \cup }$를 "무조건적으로 의무적인 것"으로 읽었다.
* 그는 ${\displaystyle \cap }$를 "무조건적으로 금지된 것"으로 읽었다.

말리는 ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle \infty }$, 그리고 ${\displaystyle \cap }$를 다음과 같이 정의했다.

Def. ${\displaystyle f.AfB=A\rightarrow !B}$
Def. ${\displaystyle \infty .A\infty B=(AfB)\&(BfA)}$
Def. ${\displaystyle \cap .\rightarrow \cap =\lnot \cup }$

말리는 다섯 가지 비형식적 원리를 제안했다.

(i) 만약 A가 B를 요구하고 B가 C를 요구한다면, A는 C를 요구한다.
(ii) 만약 A가 B를 요구하고 A가 C를 요구한다면, A는 B와 C를 요구한다.
(iii) A가 B를 요구하는 것은 A이면 B라는 것이 의무적이라는 것과 필요충분조건이다.
(iv) 무조건적으로 의무적인 것은 의무적이다.
(v) 무조건적으로 의무적인 것은 그 자체의 부정을 요구하지 않는다.

그는 이 원리들을 형식화하고 그것들을 자신의 공리로 삼았다.

I. ${\displaystyle \rightarrow ((AfB)\&(B\rightarrow C))\rightarrow (AfC)}$
II. ${\displaystyle \rightarrow ((AfB)\&(AfC))\rightarrow (Af(B\&C))}$
III. ${\displaystyle \rightarrow (AfB)\leftrightarrow$ !(A\rightarrow B)}
IV. ${\displaystyle \rightarrow \exists \cup$ !\cup }
V. ${\displaystyle \rightarrow \lnot (\cup f\cap )}$

이 공리들로부터 말리는 35개의 정리를 추론했는데, 그 중 많은 것이 그가 당연히 이상하다고 여겼던 것들이었다. 카를 멩거는 ${\displaystyle !A\leftrightarrow A}$가 정리이며, 따라서 ! 기호의 도입이 무관하며, A가 사실일 경우 A가 그러해야 한다고 보여주었다.^[4] 멩거 이후, 철학자들은 말리의 체계를 더 이상 실현 가능한 것으로 여기지 않았다.

의무 논리의 첫 번째 그럴듯한 체계는 G. H. 폰 라이트가 1951년 철학 저널 Mind에 실린 논문 "Deontic Logic"에서 제안했다. (폰 라이트는 또한 말리가 1926년에 독일어 논문 Deontik을 출판했지만, 이 종류의 논리를 지칭하기 위해 영어에서 "deontic"이라는 용어를 처음 사용했다.) 폰 라이트의 이 중요한 논문이 출판된 이래로, 많은 철학자와 컴퓨터 과학자들이 의무 논리 체계를 연구하고 개발해왔다. 그럼에도 불구하고, 오늘날까지 의무 논리는 논리학에서 가장 논란이 많고 합의가 적은 분야 중 하나로 남아있다. G. H. 폰 라이트는 1951년 의무 논리를 말리처럼 명제 계산의 구문에 기반을 두지 않고, 말리가 혜택을 받지 못했던 인식 양상 논리의 영향을 받았다. 1964년에 폰 라이트는 "A New System of Deontic Logic"을 출판했는데, 이는 명제 계산의 구문으로 회귀하는 것이었으며, 따라서 말리의 체계로의 중요한 회귀였다. (폰 라이트의 명제 계산 구문에서 벗어났다가 다시 돌아온 것에 대한 자세한 내용은 Georg Henrik von Wright의 "Deontic Logic: A Personal View"와 "A New System of Deontic Logic"을 참조하라.) G. H. 폰 라이트가 규범적 추론의 목적으로 가능성과 필연성의 양상 논리를 채택한 것은 라이프니츠로의 회귀였다.

폰 라이트의 시스템은 말리의 시스템에 비해 상당한 개선을 이루었지만, 그 자체로 여러 가지 문제를 제기했다. 예를 들어, 로스의 역설은 폰 라이트의 의무 논리에 적용되어 "편지를 부치는 것이 의무이다"에서 "편지를 부치거나 편지를 태우는 것이 의무이다"로 추론하게 하는데, 이는 편지를 태우는 것이 허용된다는 것을 암시하는 것처럼 보인다. 착한 사마리아인 역설 또한 그의 시스템에 적용되어 "강도당한 사람을 돌보는 것이 의무이다"에서 "그 남자가 강도당하는 것이 의무이다"를 추론하게 한다. 또 다른 주요 혼란의 원인은 미국의 철학자이자 논리학자인 로더릭 치좀의 이름을 딴 치좀의 역설이다. 다음 주장들을 폰 라이트의 시스템에서 형식화하여 공동으로 만족시키면서 논리적으로 독립적으로 만드는 방법은 없다.

• 존스가 (이웃을 도우러) 가야 한다.
• 존스가 간다면, 그가 오고 있다고 말해야 한다.
• 존스가 가지 않는다면, 그가 오고 있다고 말하지 말아야 한다.
• 존스는 가지 않는다.

이러한 그리고 다른 퍼즐과 역설(예: 부드러운 살인자, 자유 선택 허용)을 해결하기 위해 수년간 표준 의무 논리의 여러 확장 또는 수정이 제안되었다.

외르겐센의 딜레마

의무 논리는 외르겐센의 딜레마에 직면한다.^[5] 이 문제는 삼중 딜레마로 가장 잘 이해될 수 있다. 다음 세 가지 주장은 양립할 수 없다.

• 논리적 추론은 요소(전제와 결론)가 진리값을 가져야 한다.
• 규범적 진술은 진리값을 가지지 않는다.
• 규범적 진술 사이에 논리적 추론이 존재한다.

이 문제에 대한 반응은 세 가지 전제 중 하나를 거부하는 것을 포함한다.

1. 입출력 논리는 첫 번째 전제를 거부한다.^[6] 이들은 요소들이 진리값을 가진다는 전제 없이 요소들에 대한 추론 메커니즘을 제공한다.
2. 또는 두 번째 전제를 부정할 수 있다. 한 가지 방법은 규범 자체와 규범에 대한 명제를 구분하는 것이다. 이 반응에 따르면, (표준 의무 논리의 경우처럼) 규범에 대한 명제만이 진리값을 가진다. 예를 들어, "모든 책을 탁자에서 치워라!"라는 주장에 진리값을 할당하기 어려울 수 있지만, "모든 책을 탁자에서 치우는 것이 의무이다"를 의미하는 ${\displaystyle O}$("모든 책을 탁자에서 치워라")는 직설법이므로 진리값을 할당할 수 있다.
3. 마지막으로, 세 번째 전제를 부정할 수 있다. 그러나 이것은 연구할 가치가 있는 규범 논리가 존재하지 않는다고 부정하는 것이다.

같이 보기

• 의무론적 윤리학
• 자유 선택 추론
• 도덕적 추론
• 규범