이중 잉여류

군론에서 이중 잉여류(二重剩餘類, 영어: double coset)는 주어진 두 부분군에 의하여 결정되는 동치 관계에 대한 동치류이다.

정의

군 ${\displaystyle G}$의 두 부분군 ${\displaystyle H,K\leq G}$ 및 군의 원소 ${\displaystyle g\in G}$에 대하여, ${\displaystyle H}$와 ${\displaystyle K}$에 대한 ${\displaystyle g}$의 이중 잉여류는 다음과 같다.

${\displaystyle HgK=\{hgk\colon h\in H,\;k\in K\}}$

특히, ${\displaystyle H}$가 자명 부분군일 경우 이는 ${\displaystyle K}$에 대한 ${\displaystyle g}$의 왼쪽 잉여류 ${\displaystyle gK}$이며, ${\displaystyle K}$가 자명 부분군일 경우 이는 ${\displaystyle H}$에 대한 ${\displaystyle g}$의 오른쪽 잉여류 ${\displaystyle Hg}$이다. ${\displaystyle H}$와 ${\displaystyle K}$가 모두 ${\displaystyle G}$의 정규 부분군일 경우, ${\displaystyle H}$와 ${\displaystyle K}$에 대한 이중 잉여류와 ${\displaystyle K}$와 ${\displaystyle H}$에 대한 이중 잉여류는 일치한다. ${\displaystyle G}$ 속 ${\displaystyle H}$와 ${\displaystyle K}$에 대한 이중 잉여류의 집합은 ${\displaystyle H\backslash G/K}$로 표기한다.

성질

군 ${\displaystyle G}$의 두 부분군 ${\displaystyle H,K\leq G}$에 대하여, 이중 잉여류의 집합 ${\displaystyle H\backslash G/K}$는 ${\displaystyle G}$의 분할을 이룬다. 즉, 임의의 ${\displaystyle g,g'\in G}$에 대하여, ${\displaystyle HgK=Hg'K}$이거나 ${\displaystyle HgK\cap Hg'K=\varnothing }$이다.

군 ${\displaystyle G}$의 두 부분군 ${\displaystyle H,K\leq G}$에 대하여, ${\displaystyle |H\backslash G/K|=|K\backslash G/H|}$이다. 즉, 두 부분군에 대한 이중 잉여류의 수와 순서를 교환한 두 부분군에 대한 이중 잉여류의 수는 같다.

증명:

다음과 같은 함수를 생각하자.

${\displaystyle H\backslash G/K\to K\backslash G/H}$

${\displaystyle HgK\mapsto Kg^{-1}H}$

그렇다면, 이는 자명하게 전단사 함수이므로, 정의역과 공역의 크기는 같다.

군 ${\displaystyle G}$의 두 부분군 ${\displaystyle H,K\leq G}$ 및 군의 원소 ${\displaystyle g\in G}$에 대하여, 이중 잉여류 ${\displaystyle HgK}$의 크기는

${\displaystyle |HgK|={\frac {|H||K|}{|H\cap gKg^{-1}|}}}$

이다.

증명:

${\displaystyle |HgK|=|H(gKg^{-1})|={\frac {|H||gKg^{-1}|}{|H\cap gKg^{-1}|}}={\frac {|H||K|}{|H\cap gKg^{-1}|}}}$

외부 링크

• “Double coset of a pair of subgroups”. 《Groupprops》 (영어).