인과 집합

인과 집합(영어: causal set)은 양자 중력에 대한 접근으로 시공간이 서로 이산적인 부분 순서 집합이라고 가정한다. 이에 따라 두 시공간의 사건에 대해 선후 관계가 매겨진다.

정의

인과 집합 ${\displaystyle (C,\preceq )}$은 다음 조건을 만족시키는 부분 순서 집합이다.

• 임의의 ${\displaystyle x,z\in C}$에 대하여, 구간 ${\displaystyle \{y\in C\colon x\preceq y\preceq z\}}$는 유한 집합이다.

통상적으로 이 부분 순서는 기호 ${\displaystyle \preceq }$로 나타내고, ${\displaystyle x\preceq y\neq x}$를 ${\displaystyle x\prec y}$로 표기한다.

기하

인과 집합은 비연속적이어서 다양체의 이론을 그대로 적용하는데 문제가 있다. 하지만 어떤 구조는 여기에도 적용될 수 있다. 이에 대한 전체 내용은 다음을 참고하라.^[1]

측지선

인과 집합의 원소${\displaystyle x,y\in C\,\!}$에 고리는 ${\displaystyle x\prec y}$이지만 ${\displaystyle x\prec z\prec y}$를 만족하는 ${\displaystyle z\in C\,\!}$ 가 없는 경우를 말한다.

사슬은 원소의 수열 ${\displaystyle x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}}$ 가 있어서 ${\displaystyle i=0,\ldots ,n-1}$. 일 때 ${\displaystyle x_{i}\prec x_{i+1}}$가 만족되는 것을 말한다.

이 사슬의 길이를 ${\displaystyle n}$라고 하자.

측지선은 두 원소 ${\displaystyle x,y\in C}$가 고리로만 연결되는 사슬이며 아래 조건을 만족하는 것이다.

1. ${\displaystyle x_{0}=x\,\!}$ 이고 ${\displaystyle x_{n}=y\,\!}$
2. 사슬의 길이 ${\displaystyle n}$은 ${\displaystyle x\,}$ 와 ${\displaystyle y\,}$를 잇는 모든 사슬에 대해 최대다

같이 보기

• 인과 구조
• 일반 상대성이론
• 순서론