본질적 단사 사상

범주론에서 본질적 단사 사상(本質的單射寫像, 영어: essential monomorphism)은 동형 사상에 매우 가까워, 이와 합성하는 것이 사상이 단사 사상인지 여부에 영향을 끼치지 않는 단사 사상이다. 마찬가지로, 잉여적 전사 사상(剩餘的全射寫像, 영어: superfluous epimorphism)은 동형 사상에 매우 가까워, 이와 합성하는 것이 사상이 전사 사상인지 여부에 영향을 끼치지 않는 전사 사상이다.

정의

범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$의 단사 사상 ${\displaystyle f\colon X\to {\tilde {X}}}$가 다음 조건을 만족시킨다면, ${\displaystyle f}$가 본질적 단사 사상이라고 한다.

임의의 사상 ${\displaystyle g\colon {\tilde {X}}\to Y}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle g\circ f}$가 단사 사상이라면, ${\displaystyle g}$ 역시 단사 사상이다.

마찬가지로, 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$의 전사 사상 ${\displaystyle f\colon {\tilde {X}}\to X}$가 다음 조건을 만족시킨다면, ${\displaystyle f}$가 잉여적 전사 사상이라고 한다.

임의의 사상 ${\displaystyle g\colon Y\to {\tilde {X}}}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle f\circ g}$가 전사 사상이라면, ${\displaystyle g}$ 역시 전사 사상이다.

보다 일반적으로, 위 정의에서, 단사 사상의 모임 또는 전사 사상의 모임을 다른 종류의 사상의 모임 ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$로 바꾸어 ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$-본질적 사상 및 ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$-잉여적 사상을 정의할 수 있다.

예

임의의 범주에서, 동형 사상은 항상 본질적 단사 사상이자 잉여적 전사 사상이다.

집합

집합과 함수의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Set} }$에서, 본질적 단사 사상 및 잉여적 전사 사상은 전단사 함수 밖에 없다.

가군

환 ${\displaystyle R}$ 위의 왼쪽 가군 ${\displaystyle {\tilde {M}}}$의 부분 가군 ${\displaystyle M}$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 경우 ${\displaystyle M}$이 ${\displaystyle {\tilde {M}}}$의 본질적 부분 가군, ${\displaystyle {\tilde {M}}}$이 ${\displaystyle M}$의 본질적 확대라고 한다.^{[1]:74, Definition 3.26}

• 포함 사상 ${\displaystyle M\to {\tilde {M}}}$은 왼쪽 가군 범주 ${\displaystyle _{R}\operatorname {Mod} }$의 본질적 단사 사상이다.
• ${\displaystyle {\tilde {M}}}$의 임의의 부분 가군 ${\displaystyle N}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle M\cap N=0}$이라면 ${\displaystyle N=0}$이다.

(이 두 조건이 동치인 것은 ${\displaystyle N}$을 핵으로 갖는 가군 준동형 ${\displaystyle g\colon M\to P}$를 생각하면 알 수 있다.)

마찬가지로, 환 ${\displaystyle R}$ 위의 왼쪽 가군 ${\displaystyle {\tilde {M}}}$의 부분 가군 ${\displaystyle K}$ 및 몫가군 ${\displaystyle M={\tilde {M}}/K}$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 경우 ${\displaystyle K}$가 ${\displaystyle {\tilde {M}}}$의 잉여적 부분 가군이라고 한다.^[1]:74

• 몫 사상 ${\displaystyle {\tilde {M}}\to M}$은 왼쪽 가군 범주 ${\displaystyle _{R}\operatorname {Mod} }$의 잉여적 전사 사상이다.
• ${\displaystyle {\tilde {M}}}$의 임의의 부분 가군 ${\displaystyle N\subseteq {\tilde {M}}}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle K+N={\tilde {M}}}$이라면 ${\displaystyle N={\tilde {M}}}$이다.

(이 두 조건이 동치인 것은 ${\displaystyle N}$을 상으로 갖는 가군 준동형 ${\displaystyle g\colon P\to {\tilde {M}}}$를 생각하면 알 수 있다.)

본질적 부분 가군은 흔히 ${\displaystyle \subseteq _{\text{e}}}$로, 잉여적 부분 가군은 흔히 ${\displaystyle \subseteq _{\text{s}}}$로 표기한다.

특히, ${\displaystyle _{R}R}$ 자체의 본질적/잉여적 부분 가군을 본질적/잉여적 왼쪽 아이디얼이라고 한다.