자리스키 접공간

대수기하학에서 자리스키 접공간(Zariski tangent space)은 미분기하학에서의 접공간의 개념을 대수다양체와 스킴에 대하여 일반화한 개념이다.

정의

${\displaystyle R}$이 가환 국소환이라고 하자. 국소환은 유일한 극대 아이디얼 ${\displaystyle m}$을 가지고, 또한 ${\displaystyle k=R/m}$은 체를 이룬다. ${\displaystyle m}$은 아벨 군이고, 그 제곱 ${\displaystyle m^{2}}$도 아벨 군이므로, 몫군 ${\displaystyle m/m^{2}}$를 정의할 수 있다. 이는 ${\displaystyle k}$에 대한 벡터 공간임을 보일 수 있다. 국소환 ${\displaystyle R}$의 공변접공간(cotangent space) ${\displaystyle T_{R}^{*}}$은 ${\displaystyle k}$-벡터 공간 ${\displaystyle T_{R}^{*}=m/m^{2}}$이다. ${\displaystyle R}$의 접공간(tangent space)은 공변접공간의 쌍대 공간 ${\displaystyle T_{R}=\hom(T_{R}^{*},k)}$이다.

${\displaystyle X}$가 국소환 달린 공간이라고 하자. 국소환 달린 공간의 줄기(stalk)는 국소환이다. ${\displaystyle x\in X}$에서의 접공간 ${\displaystyle T_{X,x}}$는 ${\displaystyle x}$에서의 줄기의 접공간이다. 대수다양체와 스킴은 모두 국소환 달린 공간의 일종이므로, 그 접공간은 국소환 달린 공간으로서의 접공간이다.

역사

오스카 자리스키가 1947년 도입하였다.^[1]

같이 보기

• 제트 (수학)