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작용소 K이론
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수학에서, 작용소 K이론(作用素K異論, 영어: operator K-theory)는 C* 대수에 대응되는 K이론이다. 주기 2의 보트 주기성을 가지며, 가환 C* 대수의 경우 겔판트 표현 정리에 의하여 이는 위상 K이론과 일치한다.
정의
요약
관점
사영원
(항등원을 갖는) 복소수 대합 대수 의 원소 가 만약 를 만족시킨다면, 를 사영원(영어: projection element)이라고 한다. 사영원의 집합을 로 표기하자.
원소 에 대하여, 만약 라면, 를 부분 등거리원(영어: partial isometry)이라고 한다. 만약 가 부분 등거리원이라면, 역시 부분 등거리원이다. 부분 등거리원들의 집합을 로 표기하자.
위에 다음과 같은 동치 관계를 정의할 수 있다.
무한 행렬 공간
(항등원을 갖는) C* 대수 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 성분의 정사각 행렬들의 C* 대수 를 정의할 수 있다. 행렬에 모든 성분이 0인 번째 행 및 열을 추가하는 사상을
라고 하면, 이들을 통해 다음과 같은 귀납적 극한을 취할 수 있다.
이는 그러나 항등원을 갖지 않아 환이 아니다. 위에 이항 연산
을 정의하자.
위에 다음과 같은 동치 관계를 정의하자.
그렇다면, 는 가환 모노이드를 이룬다. 이를 로 표기하자. 의 그로텐디크 군을 의 0차 K군이라고 하며, 로 표기한다.
K1
마찬가지로, 계수의 일반 선형군
및
를 정의하자. (는 항등원을 갖지 않아 사실 군이 아니다.) 이 경우, 의 차 K군은 다음과 같다.
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성질
보트 주기성에 따라
이다.
예
요약
관점
1차원 C* 대수 를 생각하자. 는 다음과 같다.
구체적으로,
이다. 이는 복소수 정사각 행렬 가운데 이라면
의 꼴이기 때문이다.
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참고 문헌
- Rordam, M.; Larsen, Finn; Laustsen, N. (2000년 1월). 《An introduction to K-theory for C*-algebras》. London Mathematical Society Student Texts (영어) 49. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511623806. ISBN 978-0-521-78334-7.
- Brodzky, Jacek (1996). “An introduction to K-theory and cyclic cohomology” (영어). arXiv:funct-an/9606001. Bibcode:996funct.an..6001B.
- Blackadar, Bruce (1986). 《K-theory for operator algebras》. Mathematical Sciences Research Institute Publications (영어) 5. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4613-9572-0. ISBN 978-1-4613-9574-4. ISSN 0940-4740.
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외부 링크
- “Operator K-theory”. 《nLab》 (영어).
- Matthies, Rainer; Szymański, Wojciech. “Lecture notes on the K-theory of operator algebras” (PDF) (영어).
- Chatterji, I. L. (2002년 11월 7일). “Crash-course on topological K-theory for C*-algebras” (PDF) (영어).
- Voigt, Christian. “K-Theorie für Operatoralgebren” (PDF) (독일어).
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