작용소 K이론

수학에서, 작용소 K이론(作用素K異論, 영어: operator K-theory)는 C* 대수에 대응되는 K이론이다. 주기 2의 보트 주기성을 가지며, 가환 C* 대수의 경우 겔판트 표현 정리에 의하여 이는 위상 K이론과 일치한다.

정의

사영원

(항등원을 갖는) 복소수 대합 대수 ${\displaystyle A}$의 원소 ${\displaystyle a\in A}$가 만약 ${\displaystyle a^{2}=a^{*}=a}$를 만족시킨다면, ${\displaystyle a}$를 사영원(영어: projection element)이라고 한다. 사영원의 집합을 ${\displaystyle \operatorname {P} (A)}$로 표기하자.

원소 ${\displaystyle a\in A}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle a^{*}a\in \operatorname {P} (A)}$라면, ${\displaystyle a}$를 부분 등거리원(영어: partial isometry)이라고 한다. 만약 ${\displaystyle a}$가 부분 등거리원이라면, ${\displaystyle a^{*}}$ 역시 부분 등거리원이다. 부분 등거리원들의 집합을 ${\displaystyle \operatorname {PI} (A)}$로 표기하자.

${\displaystyle \operatorname {P} (A)}$ 위에 다음과 같은 동치 관계를 정의할 수 있다.

${\displaystyle a\sim b\iff \exists c\in \operatorname {PI} (A)\colon a=c^{*}c,\;b=cc^{*}}$

무한 행렬 공간

(항등원을 갖는) C* 대수 ${\displaystyle A}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle A}$성분의 ${\displaystyle n\times n}$ 정사각 행렬들의 C* 대수 ${\displaystyle \operatorname {Mat} (n;A)}$를 정의할 수 있다. ${\displaystyle n\times n}$ 행렬에 모든 성분이 0인 ${\displaystyle n+1}$번째 행 및 열을 추가하는 사상을

${\displaystyle \iota _{n}\colon \operatorname {Mat} (n;A)\to \operatorname {Mat} (n+1;A)}$

라고 하면, 이들을 통해 다음과 같은 귀납적 극한을 취할 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {Mat} (\infty ;A)=\lim _{n\to \infty }\operatorname {Mat} (n;A)}$

이는 그러나 항등원을 갖지 않아 환이 아니다. ${\displaystyle \operatorname {Mat} (\infty ;A)}$ 위에 이항 연산

${\displaystyle M\oplus N={\begin{pmatrix}M&0_{m\times n}\\0_{n\times m}&N\end{pmatrix}}\qquad (M\in \operatorname {Mat} (m;A),\;N\in \operatorname {Mat} (n;A))}$

을 정의하자.

${\displaystyle \operatorname {Mat} (\infty ;A)}$ 위에 다음과 같은 동치 관계를 정의하자.

${\displaystyle M\sim N\iff \exists P\in \operatorname {Mat} (m,n;A)\colon M=PP^{*},\;N=P^{*}P\qquad (M\in \operatorname {Mat} (m;A),\;N\in \operatorname {Mat} (n;A))}$

그렇다면, ${\displaystyle \operatorname {Mat} (\infty ;A)/\sim }$는 가환 모노이드를 이룬다. 이를 ${\displaystyle \operatorname {D} (A)}$로 표기하자. ${\displaystyle \operatorname {D} (A)}$의 그로텐디크 군을 ${\displaystyle A}$의 0차 K군이라고 하며, ${\displaystyle \operatorname {K} _{0}(A)}$로 표기한다.

K₁

마찬가지로, ${\displaystyle A}$계수의 일반 선형군

${\displaystyle \operatorname {GL} (n;A)=\operatorname {Unit} \left(\operatorname {Mat} (n;A)\right)}$

및

${\displaystyle \operatorname {GL} (\infty ;A)=\lim _{n\to \infty }\operatorname {GL} (n;A)}$

를 정의하자. (${\displaystyle \operatorname {GL} (\infty ;A)}$는 항등원을 갖지 않아 사실 군이 아니다.) 이 경우, ${\displaystyle A}$의 ${\displaystyle i}$차 K군은 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {K} _{i}(A)=\pi _{i-1}(\operatorname {GL} (\infty ;A))\qquad (i\geq 1)}$

성질

보트 주기성에 따라

${\displaystyle \operatorname {K} _{i+2}(A)=\operatorname {K} _{i}(A)}$

이다.

예

1차원 C* 대수 ${\displaystyle \mathbb {C} }$를 생각하자. ${\displaystyle \operatorname {K} _{0}(\mathbb {C} )}$는 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {D} (\mathbb {C} )\cong \mathbb {N} }$

${\displaystyle \operatorname {K} _{0}(\mathbb {C} )\cong \mathbb {Z} }$

구체적으로,

${\displaystyle n\mapsto [1_{n\times n}]\qquad (n\in \mathbb {N} )}$

이다. 이는 복소수 정사각 행렬 ${\displaystyle M\in \operatorname {Mat} (n;\mathbb {C} )}$ 가운데 ${\displaystyle M^{2}=1}$이라면

${\displaystyle M=\operatorname {diag} (e_{1},e_{2},\dotsc ,e_{n})}$

${\displaystyle e_{1},\dotsc ,e_{n}\in \{0,1\}}$

의 꼴이기 때문이다.

참고 문헌

• Rordam, M.; Larsen, Finn; Laustsen, N. (2000년 1월). 《An introduction to K-theory for C*-algebras》. London Mathematical Society Student Texts (영어) 49. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511623806. ISBN 978-0-521-78334-7.
• Brodzky, Jacek (1996). “An introduction to K-theory and cyclic cohomology” (영어). arXiv:funct-an/9606001. Bibcode:996funct.an..6001B.
• Blackadar, Bruce (1986). 《K-theory for operator algebras》. Mathematical Sciences Research Institute Publications (영어) 5. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4613-9572-0. ISBN 978-1-4613-9574-4. ISSN 0940-4740.

외부 링크

• “Operator K-theory”. 《nLab》 (영어).
• Matthies, Rainer; Szymański, Wojciech. “Lecture notes on the K-theory of operator algebras” (PDF) (영어).
• Chatterji, I. L. (2002년 11월 7일). “Crash-course on topological K-theory for C*-algebras” (PDF) (영어).
• Voigt, Christian. “K-Theorie für Operatoralgebren” (PDF) (독일어).