장미곡선

장미곡선이란 수학에서 극좌표에 그려진 사인곡선을 말한다. 극좌표 등식으로는 다음과 같은 형태로 표현될 수 있다.

${\displaystyle r=\cos \,k\theta }$

${\displaystyle k}$가 정수일 때는 다음과 같은 상황으로 나뉜다.

• 짝수일 때는 ${\displaystyle 2k}$개의 꽃잎이 생긴다.
• 홀수일 때는 ${\displaystyle k}$개의 꽃잎이 생긴다.

${\displaystyle k}$가 짝수일 때는 ${\displaystyle \theta }$의 값이 0에서 ${\displaystyle 2\pi }$까지 변하면 전체 곡선이 그려진다. 하지만 ${\displaystyle k}$이 홀수일 때는 ${\displaystyle \theta }$의 값이 0에서 ${\displaystyle \pi }$까지 변할 때 전체 곡선이 그려진다.

${\displaystyle k}$가 유리수일 때는 곡선은 유한의 길이에 의해 닫힌다. ${\displaystyle k}$가 무리수일 때는 닫히지 않으며 길이가 무한이다.

다음 등식에 의해(모든 ${\displaystyle \theta }$)

${\displaystyle \sin k\theta =\cos k\theta -{\frac {\pi }{2}}=\cos k\left(\theta -{\frac {\pi }{2k}}\right)}$

곡선은 극좌표 등식이 정의한다.

${\displaystyle r=\sin \,k\theta }$ 와 ${\displaystyle r=\cos \,k\theta }$

는 ${\displaystyle {\frac {\pi }{2k}}\mathrm {rad} }$ 바퀴를 제외하고는 동등하다.

• 
  7개의 꽃잎을 지닌 장미
  (${\displaystyle k=7}$)
• 
  8개의 꽃잎을 지닌 장미
  (${\displaystyle k=4}$)
• 
  ${\displaystyle k={\frac {n}{d}}}$인 ${\displaystyle k}$에 관해
  ${\displaystyle r=\sin \,k\theta }$로 정의되는 장미곡선