전하 수송 메커니즘

전하 수송 메커니즘(영어: Charge transport mechanisms)은 주어진 매체를 통한 전류 흐름을 정량적으로 설명하려는 이론적 모델이다.

이론

결정 고체와 분자고체는 상당히 다른 수송 메커니즘을 보이는 두 가지 대조적인 극단적인 경우의 물질이다. 원자 고체에서 수송은 분자 내에서 일어나며, 띠 수송이라고도 알려져 있는 반면, 분자 고체에서는 수송이 분자 간에 일어나며, 홉 수송이라고도 알려져 있다. 이 두 가지 다른 메커니즘은 다른 전자 이동도를 초래한다.

무질서 고체에서, 무질서한 전위는 약한 국소화 효과(트랩)를 초래하여 자유 이동 경로를 줄이고, 결과적으로 이동 전하의 이동도를 감소시킨다. 캐리어 생성 및 재결합 또한 이동도를 감소시킨다.

띠 수송과 홉 수송의 비교

매개변수	띠 수송 (탄도 수송)	홉 수송
예시	결정질 반도체	무질서 고체, 다결정 및 비정질 반도체
근본 메커니즘	전체 부피에 걸쳐 비국소화된 분자 파동 함수	터널링(전자) 또는 전위 장벽 극복(이온)을 통한 국소화된 사이트 간 전이
사이트 간 거리	결합 길이 (1 nm 미만)	일반적으로 1 nm 초과
평균 자유 경로	사이트 간 거리보다 큼	사이트 간 거리
이동도	일반적으로 1 cm2/(V⋅s)보다 큼; 전기장에 독립적; 온도 증가에 따라 감소	일반적으로 0.01 cm2/(V⋅s)보다 작음; 전기장에 의존적; 온도 증가에 따라 증가

옴의 법칙에서 시작하여 전도도의 정의를 사용하면, 캐리어 이동도 μ와 인가된 전기장 E의 함수로서 전류에 대한 다음 공통 표현을 유도할 수 있다.

${\displaystyle I=GV=\sigma {\frac {A}{\ell }}V=\sigma AE=en\mu AE}$

${\displaystyle \sigma =en\mu }$ 관계는 국소화된 상태의 농도가 전하 캐리어 농도보다 훨씬 높고, 홉핑 이벤트가 서로 독립적이라고 가정할 때 유효하다.

일반적으로 캐리어 이동도 μ는 온도 T, 인가된 전기장 E, 그리고 국소화된 상태의 농도 N에 따라 달라진다. 모델에 따라 온도 증가는 캐리어 이동도를 증가시키거나 감소시킬 수 있으며, 인가된 전기장은 포획된 전하의 열적 이온화에 기여함으로써 이동도를 증가시킬 수 있고, 국소화된 상태의 농도 증가는 이동도를 또한 증가시킨다. 동일한 물질에서의 전하 수송은 인가된 전장과 온도에 따라 다른 모델로 설명되어야 할 수도 있다.^[1]

국소화된 상태의 농도

캐리어 이동도는 국소화된 상태의 농도에 비선형적으로 강하게 의존한다.^[2] 낮은 농도의 극한인 최근접 홉핑의 경우, 다음 표현이 실험 결과에 맞춰질 수 있다.^[3]

${\displaystyle \mu \propto \exp \left(-{\frac {2}{\alpha N_{0}^{1/3}}}\right)}$

여기서 ${\displaystyle N_{0}}$는 농도이고 ${\displaystyle \alpha }$는 국소화된 상태의 국소화 길이이다. 이 방정식은 낮은 농도에서 발생하는 비일관성 홉핑 수송의 특징이며, 이때 제한 요소는 사이트 간 거리에 따른 홉핑 확률의 지수적 감소이다.^[4]

때로는 이 관계가 이동도 대신 전도도에 대해 표현된다.

${\displaystyle \sigma =\sigma _{0}\exp \left(-{\frac {\gamma }{\alpha N_{0}^{1/3}}}\right)}$

여기서 ${\displaystyle N_{0}}$는 무작위로 분포된 사이트의 농도, ${\displaystyle \sigma _{0}}$는 농도에 독립적, ${\displaystyle \alpha }$는 국소화 반경, 그리고 ${\displaystyle \gamma }$는 수치 계수이다.^[4]

높은 농도에서는 최근접 모델과의 편차가 관찰되며, 대신 가변 범위 홉핑이 수송을 설명하는 데 사용된다. 가변 범위 홉핑은 분자적으로 도핑된 폴리머, 저분자량 유리 및 공액 폴리머와 같은 무질서한 시스템을 설명하는 데 사용될 수 있다.^[3] 매우 희석된 시스템의 한계에서 최근접 이웃 의존성 ${\displaystyle \ln \sigma \propto -\gamma \alpha ^{-1}N_{0}^{-1/3}}$은 유효하지만, ${\displaystyle \gamma \simeq 1.73}$에서만 유효하다.^[3]

온도 의존성

낮은 캐리어 밀도에서는 온도에 따른 전도도에 대한 모트(Mott) 공식이 홉핑 수송을 설명하는 데 사용된다.^[3] 가변 홉핑에서는 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle \sigma =\sigma _{0}\exp \left[-\left({\frac {T_{0}}{T}}\right)^{\frac {1}{3}}\right]}$

여기서 ${\displaystyle T_{0}}$는 특성 온도를 나타내는 매개변수이다. 낮은 온도에서 페르미 준위 근처의 상태 밀도가 포물선 형태라고 가정하면 전도도는 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle \sigma =\sigma _{0}\exp \left[-\left({\frac {{\tilde {T}}_{0}}{T}}\right)^{\frac {1}{2}}\right]}$

높은 캐리어 밀도에서는 아레니우스 의존성이 관찰된다.^[3]

${\displaystyle \sigma =\sigma _{0}\exp \left(-{\frac {E_{a}}{k_{\text{B}}T}}\right)}$

사실 DC 바이어스 하의 무질서한 물질의 전기 전도도는 넓은 온도 범위에서 유사한 형태를 가지며, 활성화 전도라고도 알려져 있다.

${\displaystyle \sigma =\sigma _{0}\exp \left[-\left({\frac {E_{a}}{k_{\text{B}}T}}\right)^{\beta }\right]}$

인가된 전기장

높은 전기장은 관찰된 이동도를 증가시킨다.

${\displaystyle \mu \propto \exp \left({\sqrt {E}}\right)}$

이 관계가 넓은 범위의 전장 강도에 대해 성립함이 입증되었다.^[5]

AC 전도도

넓은 범위의 무질서한 반도체에서 AC 전도도의 실수부와 허수부는 다음과 같은 형태를 가진다.^[6][7]

${\displaystyle \Re \sigma (\omega )=C\omega ^{s}}$

${\displaystyle \Im \sigma (\omega )=C\tan {\frac {\pi s}{2}}\omega ^{s}}$

여기서 C는 상수이고 s는 일반적으로 1보다 작다.^[4]

이온 전도

전자 전도와 유사하게 박막 전해질의 전기 저항은 인가된 전기장에 의존하며 샘플의 두께가 감소할 때 전도도는 감소된 두께와 전장 유도 전도도 향상 모두로 인해 향상된다. 주기적 전위 하에서 독립적인 이온을 가진 무작위 보행 모델을 가정한 이온 도체를 통한 전류 밀도 j의 전장 의존성은 다음과 같다.^[8]

${\displaystyle j\propto \sinh \left({\frac {\alpha eE}{2k_{\text{B}}T}}\right)}$

여기서 α는 사이트 간 분리 거리이다.

수송 메커니즘의 실험적 결정

수송 특성의 특성화는 장치를 제작하고 그 전류-전압 특성을 측정해야 한다. 수송 연구를 위한 장치는 일반적으로 박막 증착 또는 break junction에 의해 제작된다. 측정된 장치에서 지배적인 수송 메커니즘은 미분 전도도 분석을 통해 결정될 수 있다. 미분 형태로, 수송 메커니즘은 장치를 통한 전류의 전압 및 온도 의존성을 기반으로 구별될 수 있다.^[9]

전자 수송 메커니즘^[9]

수송 메커니즘	전기장의 영향	함수형태	미분형태
파울러-노르드하임 터널링 (전계 방출)a		${\displaystyle I=A_{\text{eff}}{\frac {e^{3}m}{8\pi hm\phi _{\text{B}}}}E^{2}\exp \left(-{\frac {8\pi {\sqrt {2m}}}{3he}}{\frac {\phi _{\text{B}}^{3/2}}{E}}\right)}$	${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \ln I}{\mathrm {d} V}}={\frac {1}{V}}+{\frac {4\pi }{3he}}{\sqrt {2m}}{\frac {\phi _{\text{B}}^{3/2}}{V^{2}}}}$
열전자 방출b	장벽 높이를 낮춤	${\displaystyle I=A_{\text{eff}}A^{\star }T^{2}\exp \left[-{\frac {e}{k_{\text{B}}T}}\left(\phi _{\text{B}}-{\sqrt {\frac {eE}{4\pi \epsilon _{0}\epsilon _{r}}}}\right)\right]}$	${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \ln I}{\mathrm {d} V}}={\frac {e}{4k_{\text{B}}T}}\left({\frac {e}{\pi \epsilon _{0}\epsilon _{r}}}\right)^{\frac {1}{2}}V^{-{\frac {1}{2}}}}$
아레니우스 방정식c		${\displaystyle I=e\mu nE\exp \left(-{\frac {E_{a}}{k_{\text{B}}T}}\right)}$	${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \ln I}{\mathrm {d} E}}={\frac {1}{E}}}$
풀-프렌켈 홉핑	포획된 전하의 열적 이온화를 도움	${\displaystyle I=e\mu nE\exp \left[-{\frac {e}{k_{\text{B}}T}}\left(\phi _{\text{B}}-{\sqrt {\frac {eE}{4\pi \epsilon _{0}\epsilon _{r}}}}\right)\right]}$	${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \ln I}{\mathrm {d} E}}={\frac {1}{E}}+{\frac {e}{4k_{\text{B}}T}}\left({\frac {e}{\pi \epsilon _{0}\epsilon _{r}}}\right)^{\frac {1}{2}}E^{-{\frac {1}{2}}}}$
열 보조 터널링d		${\displaystyle I={\frac {V}{2\pi }}\left({\frac {k_{\text{B}}Tt}{2\pi }}\right)^{\frac {1}{2}}\exp \left(-{\frac {\phi }{k_{\text{B}}T}}+{\frac {V^{2}\Theta }{24\left(k_{\text{B}}T\right)^{3}}}\right)}$	${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \ln I}{\mathrm {d} V}}={\frac {1}{V}}+{\frac {V\Theta }{12\left(k_{\text{B}}T\right)^{3}}}}$

^a ${\displaystyle I}$는 측정된 전류, ${\displaystyle V}$는 인가된 전압, ${\displaystyle A_{\text{eff}}}$는 유효 접촉 면적, ${\displaystyle h}$는 플랑크 상수, ${\displaystyle \phi _{\text{B}}}$는 장벽 높이, ${\displaystyle E}$는 인가된 전기장, ${\displaystyle m}$은 유효 질량이다.

^b ${\displaystyle A^{\star }}$는 리처드슨 상수, ${\displaystyle T}$는 온도, ${\displaystyle k_{\text{B}}}$는 볼츠만 상수, ${\displaystyle \epsilon _{0}}$와 ${\displaystyle \epsilon _{r}}$은 각각 진공 유전율과 비유전율이다.

^c ${\displaystyle E_{a}}$는 활성화 에너지이다.

^d ${\displaystyle t=t(y)}$는 타원 함수이다; ${\displaystyle \Theta }$는 ${\displaystyle t}$, 인가된 전장 및 장벽 높이의 함수이다.

이동도를 두 항의 곱, 즉 전장 독립 항과 전장 의존 항으로 표현하는 것이 일반적이다.

${\displaystyle \mu =\mu _{0}\exp \left(-{\frac {\phi }{k_{\text{B}}T}}\right)\exp \left({\frac {\beta {\sqrt {E}}}{k_{\text{B}}T}}\right)}$

여기서 ${\displaystyle \phi }$는 활성화 에너지이고 β는 모델에 따라 달라진다. 예를 들어 풀-프렌켈 홉핑의 경우,

${\displaystyle \beta _{\text{PF}}={\sqrt {\frac {e^{3}}{\pi \epsilon _{0}\epsilon _{r}}}}}$

터널링과 열전자 방출은 일반적으로 장벽 높이가 낮을 때 관찰된다. 열 보조 터널링은 터널링에서 열전자 방출까지 다양한 동시 동작을 설명하려는 "하이브리드" 메커니즘이다.^[10][11]

같이 보기

• 전자전달

더 읽어보기

• Nevill Francis Mott; Edward A Davis (2012년 2월 2일). 《Electronic Processes in Non-Crystalline Materials》 2판. OUP Oxford. ISBN 978-0-19-102328-6.
• Sergei Baranovski 편집 (2006년 9월 22일). 《Charge Transport in Disordered Solids with Applications in Electronics》. Wiley. ISBN 978-0-470-09504-1.
• B.I. Shklovskii; A.L. Efros (2013년 11월 9일). 《Electronic Properties of Doped Semiconductors》. Solid-State Sciences 45. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-02403-4.
• Harald Overhof; Peter Thomas (2006년 4월 11일). 《Electronic Transport in Hydrogenated Amorphous Semiconductors》. Springer Tracts in Modern Physics 114. Springer Berlin Heidelberg. ISBN 978-3-540-45948-4.
• Martin Pope; Charles E. Swenberg (1999). 《Electronic Processes in Organic Crystals and Polymers》. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-512963-2.