절대 수렴

해석학에서 절대 수렴(絶對收斂, 영어: absolute convergence)은 급수가 각 항에 절댓값을 취하였을 때 수렴하는 성질이다.^[1][2][3] 만약 어떤 실수항 또는 복소수항 급수가 절대 수렴한다면, 원래의 급수 역시 수렴한다.

실수항 또는 복소수항 급수

정의

${\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$가 실수체 또는 복소수체라고 하자.

${\displaystyle \mathbb {K} }$ 항의 급수 ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{n}}$ (${\displaystyle x_{n}\in \mathbb {K} }$)가 주어졌을 때, 만약 각 항에 절댓값을 취하여 얻는 음이 아닌 실수 항의 급수가 수렴한다면, 즉

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|x_{n}|<\infty }$

라면, 원래의 급수 ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{n}}$가 절대 수렴한다고 한다.

성질

${\displaystyle \mathbb {K} }$ 항의 급수 ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{n}}$ (${\displaystyle x_{n}\in \mathbb {K} }$)가 주어졌다고 하자.

만약 ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{n}}$이 절대 수렴한다면, 원래의 급수 역시 수렴한다 (절대 수렴 판정법, 絶對收斂判定法, 영어: absolute convergence test). 그러나 그 역은 성립하지 않는다. ${\displaystyle \mathbb {K} }$ 항의 급수가 수렴하지만 절대 수렴하지 않는다면, 조건 수렴한다고 한다. 또한, 임의의 순열 ${\displaystyle \sigma \in \operatorname {Sym} (\{0,1,2,\dots \})}$에 대하여, 그 순열을 통해 항을 재배열하여 얻는 급수 ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{\sigma (n)}}$ 역시 수렴하며, 합은 원래의 급수와 같다.^{[2]:5, §1.1, Theorem 1.1.2} 이는 임의의 바나흐 공간 또는 프레셰 공간 위에서도 성립한다.

증명:

실수항 급수 ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{n}}$ (${\displaystyle x_{n}\in \mathbb {R} }$)가 절대 수렴한다고 가정하자. 그렇다면, 임의의 자연수 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$에 대하여 ${\displaystyle 0\leq x_{n}+|x_{n}|\leq 2|x_{n}|}$이므로, 임의의 자연수 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$에 대하여

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}(x_{k}+|x_{k}|)\leq 2\sum _{k=0}^{n}|x_{k}|}$

이다. 따라서

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(x_{k}+|x_{k}|)\leq 2\sum _{k=0}^{\infty }|x_{k}|<\infty }$

이다. 즉, ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=0}^{\infty }(x_{k}+|x_{k}|)}$는 수렴한다. ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=0}^{\infty }|x_{k}|}$ 역시 수렴하므로, ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=0}^{\infty }x_{k}}$는 수렴한다.

만약 ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{n}}$이 조건 수렴한다면, ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{\sigma (n)}}$이 발산하게 되는 순열 ${\displaystyle \sigma \in \operatorname {Sym} (\{0,1,2,\dots \})}$이 존재한다.

만약 ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }$이며, ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{n}}$이 조건 수렴한다면, 임의의 확장된 실수 ${\displaystyle s\in [-\infty ,\infty ]}$에 대하여, ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{\sigma (n)}=s}$이게 되는 순열 ${\displaystyle \sigma \in \operatorname {Sym} (\{0,1,2,\dots \})}$이 존재한다 (리만 재배열 정리).^{[2]:6, §1.1, Theorem 1.1.3}

노름 공간 위의 급수

정의

${\displaystyle \mathbb {K} }$-노름 공간 ${\displaystyle (X,\Vert \cdot \Vert )}$ 위의 급수 ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{n}}$ (${\displaystyle x_{n}\in X}$)가 주어졌을 때, 만약 각 항에 노름을 취하여 얻는 음이 아닌 실수 항의 급수가 수렴한다면, 즉

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\Vert x_{n}\Vert <\infty }$

라면, 원래의 급수 ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{n}}$가 절대 수렴한다고 한다.

성질

바나흐 공간 위의 모든 절대 수렴 급수는 무조건 수렴하며, 특히 (통상적인 의미에서) 수렴한다.^{[2]:9, §1.3} 유한 차원 노름 공간 위의 모든 무조건 수렴 급수는 절대 수렴한다.^{[2]:10, §1.3, Theorem 1.3.5} 이에 따라, 유한 차원 바나흐 공간 위에서 절대 수렴은 무조건 수렴과 동치이다. 무한 차원 바나흐 공간 위에는 무조건 수렴하지만 절대 수렴하지 않는 급수가 존재한다 (드보레츠키-로저스 정리).^{[2]:48, §4.1, Theorem 4.1.1[3]:184, §IV.10, (10.7), Corollary 3}

위상 벡터 공간 위의 급수

정의

하우스도르프 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-국소 볼록 공간 ${\displaystyle X}$ 위의 급수 ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{n}}$ (${\displaystyle x\in X}$)가 주어졌을 때, 만약 임의의 연속 반노름 ${\displaystyle \nu \colon X\to [0,\infty )}$에 대하여,

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\nu (x_{n})<\infty }$

라면, 원래의 급수 ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{n}}$가 절대 수렴한다고 한다.

성질

하우스도르프 완비 국소 볼록 공간 위의 모든 절대 수렴 급수는 무조건 수렴하며, 특히 (통상적인 의미에서) 수렴한다.^{[3]:120, §III, Exercise 23, (a)} 특히, 프레셰 공간 위의 모든 절대 수렴 급수는 무조건 수렴 및 수렴한다. 유한 차원 하우스도르프 국소 볼록 공간 위의 모든 무조건 수렴 급수는 절대 수렴한다.^{[3]:120, §III, Exercise 23, (b)} 핵(영어: nuclear) 프레셰 공간 위에서 절대 수렴은 무조건 수렴과 동치이며, 비(非)핵 프레셰 공간 위에는 무조건 수렴하지만 절대 수렴하지 않는 급수가 존재한다.^{[1]:138, §2.9, Theorem 2.9.14[3]:184, §IV.10, (10.7), Corollary 2}