정규핵

군론에서 정규핵(正規核, 영어: normal core)은 주어진 부분군의 모든 켤레 부분군의 교집합이다.

정의

군 ${\displaystyle G}$의 부분군 ${\displaystyle H\leq G}$의 정규핵 ${\displaystyle \operatorname {Core} _{G}(H)}$는 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {Core} _{G}(H)=\bigcap _{g\in G}gHg^{-1}}$

즉, 이는 왼쪽 잉여류의 집합 ${\displaystyle G/H}$ 위의 왼쪽 곱셈 작용

${\displaystyle G\to \operatorname {Sym} (G/H)}$

${\displaystyle g\mapsto (g'H\mapsto gg'H)\qquad (g,g'\in G)}$

의 핵이다.

성질

군 ${\displaystyle G}$의 부분군 ${\displaystyle H\leq G}$의 정규핵 ${\displaystyle \operatorname {Core} _{G}(H)}$은 ${\displaystyle H}$의 부분군이며, ${\displaystyle G}$의 정규 부분군이다. 또한 ${\displaystyle \operatorname {Core} _{G}(H)}$는 ${\displaystyle G}$의 정규 부분군인 ${\displaystyle H}$의 부분군 가운데 가장 크다.

${\displaystyle \operatorname {Core} _{G}(H)\leq H}$

${\displaystyle \operatorname {Core} _{G}(H)\vartriangleleft G}$

특히, 군 ${\displaystyle G}$의 부분군 ${\displaystyle H\leq G}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 정규 부분군이다.
• 스스로의 정규핵이다. ${\displaystyle H=\operatorname {Core} _{G}(H)}$

외부 링크

• “Normal core”. 《Groupprops》 (영어).