정의역

수학에서, 어떤 함수의 정의역(定義域, 영어: domain)은 함수가 그 위에 정의된 집합이다.

함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$이다. 빨간색 점의 집합 X는 함수 f의 정의역이다.

정의

수학에서, 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$는 집합 ${\displaystyle X}$의 각 원소에 대하여 ${\displaystyle Y}$의 한 원소를 대응시키는 수학적 대상이다. 이 경우 ${\displaystyle X}$를 ${\displaystyle f}$의 정의역이라고 한다. 반면, ${\displaystyle Y}$는 ${\displaystyle f}$의 공역이다.

예

함수 ${\displaystyle f}$가 두 집합

${\displaystyle X=\{1,2,3\}}$

${\displaystyle Y=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}}$

과 그 사이의 관계

${\displaystyle f(1)=2}$

${\displaystyle f(2)=4}$

${\displaystyle f(3)=6}$

로 이루어졌다고 하자. (이 관계는 간단히 ${\displaystyle f(n)=2n}$으로 적을 수 있다.) 그렇다면, 함수 ${\displaystyle f}$의 정의역은 ${\displaystyle X}$이다. (공역은 ${\displaystyle Y}$, 치역은 ${\displaystyle \{2,4,6\}}$이다.)

정의역과 공역이 실수의 집합 ${\displaystyle \mathbb {R} }$의 부분집합인 경우, 간혹 정의역과 공역을 생략하기도 한다. 예를 들어,

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$

는 정의역이 ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} \colon x\neq 0\}}$인 함수를 나타낸다. 마찬가지로,

${\displaystyle g(x)=x-1}$

은 정의역이 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 전체인 함수를 나타내며,

${\displaystyle h(x)={\sqrt {x}}}$

는 정의역이 ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} \colon x\geq 0\}}$인 함수를 나타낸다. 세 함수의 합성

${\displaystyle h(g(f(x)))={\sqrt {{\frac {1}{x}}-1}}}$

의 자연스러운 정의역은 분수의 분모가 0이 아니게 되고 (${\displaystyle x\neq 0}$), 제곱근을 가하는 수가 음이 아니게 되는 (${\displaystyle 1/x-1\geq 0}$) 실수 ${\displaystyle x}$의 집합이며, 이는 ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} \colon 0<x\leq 1\}}$이다.

같이 보기

• 공역
• 상 (수학)
• 소박한 집합론
• 치역
• 지지집합