정축체

기하학에서 정축체,^[1] 초팔면체, 정축면체,^[2] 스타우로토프,^[3] 또는 코큐브는 n-차원 유클리드 공간에 존재하는 정, 볼록 다포체이다. 2차원 정축체는 정사각형이고, 3차원 정축체는 정팔면체이며, 4차원 정축체는 정십육포체이다. 정축체의 면은 이전 차원의 단체이며, 꼭짓점 도형은 이전 차원의 다른 정축체이다.

2차원부터 5차원까지의 정축체

2차원 정사각형	3차원 정팔면체
4차원 정십육포체	5차원 5-오르토플렉스

정축체의 꼭짓점은 각 좌표축을 따라 향하는 단위 벡터로 선택될 수 있다. 즉, (±1, 0, 0, ..., 0)의 모든 순열이다. 정축체는 꼭짓점들의 볼록 폐포이다. n차원 정축체는 Rⁿ에서 ℓ₁-노름의 닫힌 단위구 (또는 일부 저자에 따르면 그 경계)로 정의될 수도 있으며, 이는 x = (x₁, x₂..., x_n)인 점들이 다음을 만족한다.

${\displaystyle |x_{1}|+|x_{2}|+\cdots +|x_{n}|\leq 1.}$

n-정축체는 (n−1)-정축체를 밑면으로 하는 쌍각뿔로 구성될 수 있다.

정축체는 초입방체의 쌍대 다포체이다. n차원 정축체의 꼭짓점-모서리 그래프는 투란 그래프 T(2n, n) (칵테일 파티 그래프로도 알려져 있다^[4]).

낮은 차원의 예시

1차원에서 정축체는 선분이며, [−1, +1] 실수 구간으로 선택될 수 있다.

2차원에서 정축체는 정사각형이다. 꼭짓점이 {(±1, 0), (0, ±1)}로 선택되면, 정사각형의 변은 축에 직각을 이룬다. 이 방향에서 정사각형은 종종 다이아몬드라고 불린다.

3차원에서 정축체는 정팔면체이며, 정다면체로 알려진 다섯 개의 볼록 정다면체 중 하나이다.

4차원 정축체는 또한 헥사데카코론 또는 정십육포체라고 불린다. 이는 여섯 개의 볼록 정규 4-다포체 중 하나이다. 이들 4차원 다포체는 19세기 중반 스위스 수학자 루드비히 슐레플리에 의해 처음 기술되었다. 4차원 초입방체 또는 정팔포체의 꼭짓점은 두 개의 여덟 개 집합으로 나눌 수 있으며, 각 집합의 볼록 폐포는 정축체를 형성한다. 또한, 정이십사포체로 알려진 다포체는 세 개의 정축체를 대칭적으로 배열하여 구성할 수 있다.^[5]

n차원

정축체족은 콕서터가 β_n으로 명명한 세 개의 정다포체족 중 하나이며, 다른 두 개는 γ_n으로 명명된 초입방체족과 α_n으로 명명된 단체족이다. 네 번째 족인 초입방체의 무한 테셀레이션은 δ_n으로 명명되었다.^[6]

n차원 정축체는 2n개의 꼭짓점과 2ⁿ개의 면 ((n − 1)차원 구성요소)을 가지며, 이들은 모두 (n − 1)-단체이다. 꼭짓점 도형은 모두 (n − 1)-정축체이다. 정축체의 슐레플리 기호는 {3,3,...,3,4}이다.

n차원 정축체의 이면각은 ${\displaystyle \delta _{n}=\arccos \left({\frac {2-n}{n}}\right)}$이다. 이는 다음과 같다: δ₂ = arccos(0/2) = 90°, δ₃ = arccos(−1/3) = 109.47°, δ₄ = arccos(−2/4) = 120°, δ₅ = arccos(−3/5) = 126.87°, ... δ_∞ = arccos(−1) = 180°.

n차원 정축체의 초부피는

${\displaystyle {\frac {2^{n}}{n!}}.}$

서로 마주보지 않는 각 꼭짓점 쌍에 대해, 이들을 연결하는 모서리가 존재한다. 더 일반적으로, k + 1개의 직교 꼭짓점 각 집합은 이들을 포함하는 고유한 k차원 구성요소에 해당한다. n차원 정축체의 k차원 구성요소(꼭짓점, 모서리, 면, ..., 초면)의 수는 다음과 같다 (이항 계수 참조):

${\displaystyle 2^{k+1}{n \choose {k+1}}}$^[7]

n-정축체의 확장된 f-벡터는 다항식 곱의 계수처럼 (1,2)ⁿ으로 계산할 수 있다. 예를 들어, 정십육포체는 (1,2)⁴ = (1,4,4)² = (1,8,24,32,16)이다.

정축체를 2차원 그래프로 나타낼 수 있는 많은 정투상도가 존재한다. 페트리 다각형 투영은 점들을 정규 2n-각형 또는 더 낮은 차수의 정다각형으로 매핑한다. 두 번째 투영은 더 낮은 차원의 2(n-1)각형 페트리 다각형을 쌍각뿔로 보고, 축을 따라 투영하여 2개의 꼭짓점이 중심으로 매핑된다.

정축체 요소

n	βn k11	이름 그래프	그래프 2n-각형	슐레플리 기호	콕서터-딘킨 다이어그램	꼭짓점	모서리	면	셀	4-면	5-면	6-면
0	β0	점 0-정축체	.	( )		1
1	β1	선분 1-정축체		{ }		2	1
2	β2 −111	정사각형 2-정축체 바이 크로스		{4} 2{ } = { }+{ }		4	4	1
3	β3 011	정팔면체 3-정축체 트리 크로스		{3,4} {31,1} 3{ }		6	12	8	1
4	β4 111	정십육포체 4-정축체 테트라 크로스		{3,3,4} {3,31,1} 4{ }		8	24	32	16	1
5	β5 211	5-orthoplex 펜타 크로스		{33,4} {3,3,31,1} 5{ }		10	40	80	80	32	1
6	β6 311	6-orthoplex 헥사 크로스		{34,4} {33,31,1} 6{ }		12	60	160	240	192	64	1
...
n	βn (n−3)11	n-정축체 n-크로스		{3n − 2,4} {3n − 3,31,1} n{}	... ... ...	2n 0-면, ... ${\displaystyle 2^{k+1}{n \choose k+1}}$ k-면 ..., 2n (n−1)-면

축 정렬 정축체의 꼭짓점은 맨해튼 거리 (L¹ 노름)에서 서로 같은 거리에 있다. 쿠스너의 추측은 2d 점들의 이 집합이 이 거리에서 가능한 가장 큰 등거리 집합이라고 주장한다.^[8]

일반화된 정축체

정규 복소 다포체는 복소수 힐베르트 공간에서 일반화된 정축체(또는 교차 다포체)로 정의할 수 있다. βp
n = ₂{3}₂{3}...₂{4}_p 또는 ..이다. p = 2인 경우 실수 해가 존재한다. 즉, β2
n = β_n = ₂{3}₂{3}...₂{4}₂ = {3,3,..,4}이다. p > 2인 경우, ${\displaystyle \mathbb {\mathbb {C} } ^{n}}$에 존재한다. p-일반화된 n-정축체는 pn개의 꼭짓점을 가진다. 일반화된 정축체는 정규 단체 (실수)를 면으로 가진다.^[9] 일반화된 정축체는 완전 다분 그래프를 만들며, βp
2는 완전 이분 그래프 K_p,p를, βp
3는 완전 삼분 그래프 K_p,p,p를, βp
n은 K_pⁿ 또는 투란 그래프 ${\displaystyle T(np,n)}$를 생성한다. 모든 꼭짓점을 원 위에 등간격으로 매핑하는 정투상도를 정의할 수 있으며, n의 배수를 제외하고 모든 꼭짓점 쌍이 연결된다. 이러한 정투상도에서 정다각형의 둘레는 페트리 다각형이라고 불린다.

일반화된 정축체

	p = 2		p = 3	p = 4	p = 5	p = 6	p = 7	p = 8
${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$	2{4}2 = {4} = K2,2	${\displaystyle \mathbb {\mathbb {C} } ^{2}}$	2{4}3 = K3,3	2{4}4 = K4,4	2{4}5 = K5,5	2{4}6 = K6,6	2{4}7 = K7,7	2{4}8 = K8,8
${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$	2{3}2{4}2 = {3,4} = K2,2,2	${\displaystyle \mathbb {\mathbb {C} } ^{3}}$	2{3}2{4}3 = K3,3,3	2{3}2{4}4 = K4,4,4	2{3}2{4}5 = K5,5,5	2{3}2{4}6 = K6,6,6	2{3}2{4}7 = K7,7,7	2{3}2{4}8 = K8,8,8
${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$	2{3}2{3}2 {3,3,4} = K2,2,2,2	${\displaystyle \mathbb {\mathbb {C} } ^{4}}$	2{3}2{3}2{4}3 K3,3,3,3	2{3}2{3}2{4}4 K4,4,4,4	2{3}2{3}2{4}5 K5,5,5,5	2{3}2{3}2{4}6 K6,6,6,6	2{3}2{3}2{4}7 K7,7,7,7	2{3}2{3}2{4}8 K8,8,8,8
${\displaystyle \mathbb {R} ^{5}}$	2{3}2{3}2{3}2{4}2 {3,3,3,4} = K2,2,2,2,2	${\displaystyle \mathbb {\mathbb {C} } ^{5}}$	2{3}2{3}2{3}2{4}3 K3,3,3,3,3	2{3}2{3}2{3}2{4}4 K4,4,4,4,4	2{3}2{3}2{3}2{4}5 K5,5,5,5,5	2{3}2{3}2{3}2{4}6 K6,6,6,6,6	2{3}2{3}2{3}2{4}7 K7,7,7,7,7	2{3}2{3}2{3}2{4}8 K8,8,8,8,8
${\displaystyle \mathbb {R} ^{6}}$	2{3}2{3}2{3}2{3}2{4}2 {3,3,3,3,4} = K2,2,2,2,2,2	${\displaystyle \mathbb {\mathbb {C} } ^{6}}$	2{3}2{3}2{3}2{3}2{4}3 K3,3,3,3,3,3	2{3}2{3}2{3}2{3}2{4}4 K4,4,4,4,4,4	2{3}2{3}2{3}2{3}2{4}5 K5,5,5,5,5,5	2{3}2{3}2{3}2{3}2{4}6 K6,6,6,6,6,6	2{3}2{3}2{3}2{3}2{4}7 K7,7,7,7,7,7	2{3}2{3}2{3}2{3}2{4}8 K8,8,8,8,8,8

관련 다포체족

정축체는 쌍대 정육면체와 결합하여 복합 다포체를 형성할 수 있다.

• 2차원에서는 팔각별 모양 ⁠8/2⁠}을 얻는다.
• 3차원에서는 정육면체와 정팔면체의 복합체를 얻는다.
• 4차원에서는 정팔포체와 정십육포체의 복합체를 얻는다.

같이 보기

• 정다포체 목록
• 초팔면체군, 정축체의 대칭군