종합기하학

종합기하학(synthetic geometry, 공리적 기하학 또는 순수 기하학)은 좌표를 사용하지 않는 기하학이다. 이는 처음에 공준이라고 불렸고 현재는 공리라고 불리는 몇 가지 기본 속성에서 모든 결과를 증명하기 위해 공리적 방법에 의존한다.

르네 데카르트가 해석기하학이라고 불리는 좌표 방법을 17세기에 도입한 후, "종합기하학"이라는 용어는 데카르트 이전에는 유일하게 알려져 있던 오래된 방법들을 지칭하기 위해 만들어졌다.

펠릭스 클라인에 따르면

종합기하학은 공식에 의존하지 않고 도형을 있는 그대로 연구하는 반면, 해석기하학은 적절한 좌표계를 채택한 후 작성할 수 있는 그러한 공식들을 일관되게 사용한다.^[1]

종합기하학에 대한 최초의 체계적인 접근 방식은 에우클레이데스의 원론이다. 그러나 19세기 말에 에우클레이데스의 공준만으로는 기하학을 특징짓기에 충분하지 않다는 것이 밝혀졌다. 기하학에 대한 최초의 완전한 공리계는 19세기 말에 다비트 힐베르트에 의해서야 주어졌다. 동시에 종합적 방법과 해석적 방법 모두 기하학을 구축하는 데 사용될 수 있음이 밝혀졌다. 두 접근 방식이 동등하다는 사실은 에밀 아르틴이 그의 저서 기하대수학에서 증명했다.

이러한 동등성 때문에 종합기하학과 해석기하학의 구분은 초등 수준이나 일부 유한기하학 및 비데자르그 정리 기하학과 같이 어떤 종류의 숫자와도 관련이 없는 기하학을 제외하고는 더 이상 사용되지 않는다.

논리적 종합

논리적 종합 과정은 임의적이지만 명확한 시작점에서 시작한다. 이 시작점은 원시 개념 또는 원시 개념과 이러한 원시 개념에 대한 공리의 도입이다.

• 원시 개념은 가장 기본적인 아이디어이다. 일반적으로 이들은 객체와 관계를 모두 포함한다. 기하학에서 객체는 점, 선, 면과 같은 것이며, 근본적인 관계는 한 객체가 다른 객체와 만나거나 합쳐지는 발생이다. 용어 자체는 정의되지 않는다. 다비트 힐베르트는 점, 선, 면 대신 테이블, 의자, 맥주잔에 대해 이야기할 수도 있다고 언급했는데,^[2] 요점은 원시 용어가 단지 비어 있는 자리 표시자이며 본질적인 속성이 없다는 것이다.
• 공리는 이러한 원시 개념에 대한 진술이다. 예를 들어, 임의의 두 점은 하나의 선과만 함께 발생한다 (즉, 임의의 두 점에 대해 두 점을 모두 통과하는 선은 하나뿐이다). 공리는 참으로 가정되며 증명되지 않는다. 이들은 원시 개념이 가지는 속성을 지정하므로 기하학적 개념의 구성 요소이다.

주어진 공리 집합에서 종합은 신중하게 구성된 논리적 논증으로 진행된다. 중요한 결과가 엄격하게 증명되면 그것은 정리가 된다.

공리 집합의 속성

기하학에 대한 고정된 공리 집합은 없으며, 두 개 이상의 일관된 집합을 선택할 수 있다. 각각의 그러한 집합은 다른 기하학으로 이어질 수 있으며, 다른 집합이 동일한 기하학을 제공하는 예도 있다. 이러한 가능성이 넘쳐나는 상황에서 단수형으로 "기하학"에 대해 이야기하는 것은 더 이상 적절하지 않다.

역사적으로 에우클레이데스의 평행선 공준은 다른 공리들과 독립적인 것으로 밝혀졌다. 단순히 그것을 버리면 절대기하학이 되고, 그것을 부정하면 쌍곡기하학이 된다. 다른 일관된 공리 집합은 사영기하학, 타원기하학, 구면기하학 또는 아핀 기하학과 같은 다른 기하학을 산출할 수 있다.

연속성 및 "사이성" 공리도 선택 사항이다. 예를 들어, 이산기하학은 이들을 버리거나 수정함으로써 생성될 수 있다.

펠릭스 클라인의 에를랑겐 프로그램에 따라 주어진 기하학의 본질은 발전 방식보다는 대칭과 명제의 내용 사이의 연결로 볼 수 있다.

역사

에우클레이데스의 원래 취급은 2천 년 이상 동안 도전받지 않았다. 19세기에 카를 프리드리히 가우스, 보여이 야노시, 니콜라이 로바쳅스키, 베른하르트 리만에 의해 비유클리드 기하학이 동시에 발견되면서 수학자들은 에우클레이데스의 근본적인 가정을 의문시하게 되었다.^[3]

초기 프랑스 해석학자 중 한 명은 종합기하학을 다음과 같이 요약했다.

에우클레이데스의 원론은 종합적 방법으로 다루어진다. 이 저자는 공리를 제시하고 필요한 사항을 구성한 후, 앞선 것에 기반하여 증명하는 명제들을 확립하고, 항상 단순한 것에서 복잡한 것으로 진행하는데, 이것이 종합의 본질적인 특징이다.^[4]

종합기하학의 전성기는 19세기라고 할 수 있는데, 이 시기에는 좌표와 미적분학에 기반한 해석적 방법이 기하학자 목록 중 야코프 슈타이너와 같은 일부 기하학자들에게 무시되었고, 사영기하학의 순전히 종합적인 발전을 선호했다. 예를 들어, 발생 공리에서 시작하는 사영 평면의 처리는 3차원 벡터 공간에서 시작하는 것보다 실제로 더 넓은 이론 (더 많은 모델을 가짐)이다. 사영기하학은 사실 어떤 기하학보다 가장 단순하고 우아한 종합적 표현을 가지고 있다.^[5]

펠릭스 클라인은 그의 에를랑겐 프로그램에서 종합적 방법과 해석적 방법 사이의 긴장을 경시했다.

현대 기하학에서 종합적 방법과 해석적 방법의 대립에 대하여:

현대 종합과 현대 해석 기하학의 구별은 더 이상 본질적인 것으로 간주되어서는 안 된다. 왜냐하면 주제와 추론 방법이 모두 점차 두 가지에서 유사한 형태를 취하게 되었기 때문이다. 따라서 우리는 본문에서 이 둘의 공통 명칭으로 사영 기하학이라는 용어를 선택한다. 종합적 방법은 공간 인지와 더 많은 관련이 있어 처음의 단순한 전개에 희귀한 매력을 부여하지만, 공간 인지의 영역은 해석적 방법에 닫혀 있지 않으며, 해석 기하학의 공식은 기하학적 관계의 정확하고 명료한 진술로 간주될 수 있다. 반면에, 잘 공식화된 분석의 독창적 연구에 대한 이점은 과소평가되어서는 안 된다. 즉, 말하자면 생각보다 앞서 나가는 이점 때문이다. 그러나 수학적 주제가 직관적으로 명백해질 때까지는 소진된 것으로 간주되어서는 안 되며, 분석의 도움으로 이루어진 진보는 첫 번째이자 매우 중요한 단계일 뿐임을 항상 주장해야 한다.^[6]

유클리드 기하학에 대한 면밀한 공리적 연구는 람베르트 사각형과 사케리 사각형의 구성으로 이어졌다. 이러한 구조는 에우클레이데스의 평행 공리가 부정되는 비유클리드 기하학 분야를 도입했다. 가우스, 보여이, 로바쳅스키는 독립적으로 쌍곡기하학을 구성했는데, 여기서는 평행선이 분리에 따라 달라지는 평행각을 가진다. 이 연구는 뫼비우스 변환에 의해 운동이 주어지는 푸앵카레 원판 모델을 통해 널리 접근 가능해졌다. 유사하게, 가우스의 학생인 리만은 리만 기하학을 구성했는데, 그 중 타원기하학이 특정 경우이다.

또 다른 예는 루트비히 임마누엘 마그누스가 발전시킨 반전기하학인데, 이는 정신적으로 종합적이라고 볼 수 있다. 밀접하게 관련된 역수 연산은 평면의 분석을 표현한다.

카를 폰 슈타우트는 덧셈과 곱셈의 교환법칙과 결합법칙과 같은 대수적 공리가 실제로는 기하 구성에서 선의 발생의 결과임을 보여주었다. 다비트 힐베르트는^[7] 데자르그 정리가 특별한 역할을 한다는 것을 보여주었다. 추가적인 연구는 루트 무팡과 그녀의 학생들에 의해 수행되었다. 이 개념들은 발생 기하학의 동기 중 하나였다.

평행선을 기본으로 취할 때, 종합은 아핀 기하학을 생성한다. 유클리드 기하학은 아핀 기하학이자 거리 기하학이지만, 일반적으로 아핀 공간에는 거리가 없을 수 있다. 따라서 추가된 유연성은 아핀 기하학의 역사에서 논의된 바와 같이 시공간 연구에 아핀 기하학을 적합하게 만든다.

1955년 허버트 부제만과 폴 J. 켈리는 종합기하학에 대한 향수를 표현했다.

비록 마지못해서지만, 기하학자들은 종합기하학의 아름다움이 새로운 세대에게 매력을 잃었다는 것을 인정해야 한다. 그 이유는 분명하다. 얼마 전까지만 해도 종합기하학은 추론이 공리에서 엄격하게 진행되는 유일한 분야였지만, 많은 수학적으로 관심 있는 사람들에게는 매우 근본적인 이 매력은 이제 다른 많은 분야에서 제공된다.^[5]

예를 들어, 대학 연구에는 이제 선형대수학, 위상수학, 그래프 이론이 포함되며, 이들 과목은 기본 원리에서 개발되고 명제는 초등 증명을 통해 도출된다. 종합기하학을 해석기하학으로 대체하려는 기대는 기하학적 내용의 손실로 이어진다.^[8]

오늘날의 기하학 학생들은 에우클레이데스의 공리 외에 다른 공리들을 사용할 수 있다. 힐베르트 공리계와 타르스키 공리계를 참조하라.

에른스트 쾨터는 1901년에 "몽주부터 슈타우트(1847)까지의 종합기하학의 발전"에 대한 (독일어) 보고서를 발표했다.^[9]

종합기하학을 이용한 증명

기하학적 정리의 종합적 증명은 보조선과 같은 보조 구성과 변 또는 각의 동일성, 삼각형의 닮음 및 합동과 같은 개념을 사용한다. 이러한 증명의 예는 나비 정리, 각의 이등분선 정리, 아폴로니우스 정리, 영국 국기 정리, 체바 정리, 등접원 정리, 기하 평균 정리, 헤론 공식, 이등변삼각형 정리, 코사인 법칙 및 Category:평면기하학의 정리에 연결된 다른 문서들에서 찾을 수 있다.

계산 종합기하학

계산기하학과 연관되어, 예를 들어 매트로이드 이론과 밀접한 관련이 있는 계산 종합기하학이 설립되었다. 합성 미분 기하학은 토포스 이론을 미분다양체 이론의 기초에 적용한 것이다.

같이 보기

• 기하학의 기초
• 발생 기하학
• 합성 미분 기하학