좌표 벡터

선형대수학에서 좌표 벡터(영어: coordinate vector)는 특정 정렬 기저의 관점에서 벡터를 설명하는 정렬된 숫자 목록(튜플)으로 벡터를 나타낸 것이다.^[1] 쉬운 예는 기저가 시스템의 축인 3차원 데카르트 좌표계에서 (5, 2, 1)과 같은 위치이다. 좌표는 항상 정렬된 기저에 상대적으로 지정된다. 기저 및 관련 좌표 표현은 벡터 공간과 선형 변환을 열 벡터, 행 벡터, 행렬로 구체적으로 실현하게 하므로 계산에 유용하다.

좌표 벡터의 개념은 아래에서 다루는 무한 차원 벡터 공간에도 사용될 수 있다.

정의

F를 체로 하고 V를 F 위의 차원 n인 벡터 공간이라고 하자.

${\displaystyle B=\{b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}\}}$

를 V의 정렬 기저라고 하자. 그러면 모든 ${\displaystyle v\in V}$에 대해 ${\displaystyle v}$와 같은 기저 벡터의 고유한 선형 결합이 존재한다.

${\displaystyle v=\alpha _{1}b_{1}+\alpha _{2}b_{2}+\cdots +\alpha _{n}b_{n}.}$

B에 대한 ${\displaystyle v}$의 좌표 벡터는 좌표의 수열이다.

${\displaystyle [v]_{B}=(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}).}$

이를 B에 대한 ${\displaystyle v}$의 표현 또는 ${\displaystyle v}$의 B 표현이라고도 한다. ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}}$는 ${\displaystyle v}$의 좌표라고 불린다. 기저의 순서는 여기에서 중요해지는데, 좌표 벡터에 계수들이 나열되는 순서를 결정하기 때문이다.

유한 차원 벡터 공간의 좌표 벡터는 행렬로 열 벡터 또는 행 벡터로 나타낼 수 있다. 위 표기법에서 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle [v]_{B}={\begin{bmatrix}\alpha _{1}\\\vdots \\\alpha _{n}\end{bmatrix}}}$

그리고

${\displaystyle [v]_{B}^{T}={\begin{bmatrix}\alpha _{1}&\alpha _{2}&\cdots &\alpha _{n}\end{bmatrix}}}$

여기서 ${\displaystyle [v]_{B}^{T}}$는 행렬 ${\displaystyle [v]_{B}}$의 전치 행렬이다.

표준 표현

모든 벡터를 그 좌표 표현으로 바꾸는, B에 대한 V의 표준 표현이라 불리는 함수 ${\displaystyle \phi _{B}}$를 정의함으로써 위 변환을 자동화할 수 있다. ${\displaystyle \phi _{B}(v)=[v]_{B}}$이다. 그러면 ${\displaystyle \phi _{B}}$는 V에서 Fⁿ으로의 선형 변환이다. 사실, 이것은 동형 사상이며 그 역함수 ${\displaystyle \phi _{B}^{-1}:F^{n}\to V}$는 단순히 다음과 같다.

${\displaystyle \phi _{B}^{-1}(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})=\alpha _{1}b_{1}+\cdots +\alpha _{n}b_{n}.}$

대안적으로, 우리는 ${\displaystyle \phi _{B}^{-1}}$를 처음부터 위의 함수로 정의하고, ${\displaystyle \phi _{B}^{-1}}$가 동형 사상임을 깨달은 다음, ${\displaystyle \phi _{B}}$를 그 역함수로 정의할 수도 있었다.

예시

예시 1

${\displaystyle P_{3}}$를 차수가 최대 3인 모든 대수적 다항식의 공간(즉, x의 최고 지수가 3일 수 있음)이라고 하자. 이 공간은 선형이며 다음 다항식으로 스팬된다.

${\displaystyle B_{P}=\left\{1,x,x^{2},x^{3}\right\}}$

다음과 일치한다.

${\displaystyle 1:={\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix}};\quad x:={\begin{bmatrix}0\\1\\0\\0\end{bmatrix}};\quad x^{2}:={\begin{bmatrix}0\\0\\1\\0\end{bmatrix}};\quad x^{3}:={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\1\end{bmatrix}}}$

그러면 다항식에 해당하는 좌표 벡터는 다음과 같다.

${\displaystyle p\left(x\right)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}}$

이다.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{0}\\a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}.}$

이 표현에 따르면, D로 표시할 미분 연산자 d/dx는 다음 행렬로 표현된다.

${\displaystyle Dp(x)=P'(x);\quad [D]={\begin{bmatrix}0&1&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&3\\0&0&0&0\\\end{bmatrix}}}$

이 방법을 사용하면 가역성, 에르미트성 또는 반에르미트성 또는 둘 다 아님, 스펙트럼 및 고유값 등과 같은 연산자의 속성을 쉽게 탐색할 수 있다.

예시 2

파울리 행렬은 스핀 고유 상태를 벡터 좌표로 변환할 때 스핀 연산자를 나타낸다.

기저 변환 행렬

B와 C가 벡터 공간 V의 두 가지 다른 기저라고 하자. 그리고 ${\displaystyle \lbrack M\rbrack _{C}^{B}}$를 기저 벡터 b₁, b₂, …, b_n의 C 표현으로 구성된 열을 가진 행렬이라고 하자.

${\displaystyle \lbrack M\rbrack _{C}^{B}={\begin{bmatrix}\lbrack b_{1}\rbrack _{C}&\cdots &\lbrack b_{n}\rbrack _{C}\end{bmatrix}}}$

이 행렬을 B에서 C로의 기저 변환 행렬이라고 한다. 이것은 ${\displaystyle F^{n}}$에 대한 자기 동형 사상으로 간주될 수 있다. B로 표현된 모든 벡터 v는 다음과 같이 C로 표현될 수 있다.

${\displaystyle \lbrack v\rbrack _{C}=\lbrack M\rbrack _{C}^{B}\lbrack v\rbrack _{B}.}$

기저 변환에서, 변환 행렬 M의 위첨자와 좌표 벡터 v의 아래첨자가 같고, 마치 상쇄되는 것처럼 보이지만, 이러한 상쇄나 유사한 수학적 연산이 실제로 일어나는 것은 아니라는 점에 유의해야 한다.

결과

행렬 M은 가역행렬이며 M⁻¹은 C에서 B로의 기저 변환 행렬이다. 다시 말해,

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Id} &=\lbrack M\rbrack _{C}^{B}\lbrack M\rbrack _{B}^{C}=\lbrack M\rbrack _{C}^{C}\\[3pt]&=\lbrack M\rbrack _{B}^{C}\lbrack M\rbrack _{C}^{B}=\lbrack M\rbrack _{B}^{B}\end{aligned}}}$

무한 차원 벡터 공간

V가 체 F에 대한 무한 차원 벡터 공간이라고 가정하자. 차원이 κ이면 V에 대한 κ개의 원소로 된 어떤 기저가 존재한다. 순서가 선택되면 기저는 정렬된 기저로 간주될 수 있다. V의 원소는 기저 원소의 유한 선형 결합이며, 이는 앞에서 설명한 것과 똑같이 고유한 좌표 표현을 생성한다. 유일한 변화는 좌표의 인덱스 집합이 유한하지 않다는 것이다. 주어진 벡터 v는 기저 원소의 유한 선형 결합이므로, v의 좌표 벡터의 0이 아닌 항목은 v를 나타내는 선형 결합의 0이 아닌 계수뿐이다. 따라서 v의 좌표 벡터는 유한한 수의 항목을 제외하고는 0이다.

(가능하면) 무한 차원 벡터 공간 사이의 선형 변환은 유한 차원 경우와 유사하게 무한 행렬로 모델링될 수 있다. V에서 V로의 변환의 특수한 경우는 전체 선형 환 문서에 설명되어 있다.

같이 보기

• 기저의 변환
• 좌표 공간