중점연결정리

기하학에서 중점연결정리(中點連結定理)는 삼각형 또는 사다리꼴에 관한 정리이다.

삼각형의 중점연결정리

삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분은 나머지 변과 평행하고, 그 길이는 나머지 변의 길이의 ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$이다.

증명

${\displaystyle \triangle }$ABC와 ${\displaystyle \triangle }$ADE에서

${\displaystyle \mathrm {{\frac {\overline {AD}}{\overline {AB}}}={\frac {\overline {AE}}{\overline {AC}}}={\frac {1}{2}}} }$

∠A는 공통

∴${\displaystyle \triangle }$ABC ${\displaystyle \sim \triangle }$ADE (SAS 닮음)

∴∠ADE=∠ABC

즉, DE//BC

또, ${\displaystyle \mathrm {{\frac {\overline {AD}}{\overline {AB}}}={\frac {\overline {DE}}{\overline {BC}}}={\frac {1}{2}}} }$이므로

${\displaystyle \mathrm {\therefore {\overline {DE}}={\frac {1}{2}}{\overline {BC}}} }$

역

삼각형의 한 변의 중점을 지나서 다른 한 변에 평행한 직선은 나머지 한 변의 중점을 지난다.

사다리꼴에서의 중점연결정리

${\displaystyle \mathrm {{\overline {AD}}\parallel {\overline {BC}},\ {\overline {AM}}={\overline {MB}},\ {\overline {DN}}={\overline {NC}}} }$일 때
${\displaystyle \mathrm {{\overline {MN}}={\frac {1}{2}}({\overline {AD}}+{\overline {BC}})} }$

증명

AN과 BC의 연장선의 교점을 E라 할 때

${\displaystyle \triangle }$ADN와 ${\displaystyle \triangle }$ECN에서

DN=NC (가정)

∠AND=∠ENC (맞꼭지각)

∠ADN=∠ECN (엇각)

∴${\displaystyle \triangle }$ADN ≡${\displaystyle \triangle }$ECN (ASA 합동)

∴ AN=NE, AD=CE

그러므로 ${\displaystyle \triangle }$ABE에서 중점연결정리에 의하여

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {\overline {MN}} &=\mathrm {{\frac {1}{2}}{\overline {BE}}} \\&=\mathrm {{\frac {1}{2}}({\overline {BC}}+{\overline {CE}})} \\&=\mathrm {{\frac {1}{2}}({\overline {AD}}+{\overline {BC}})} \\\end{aligned}}}$

${\displaystyle \mathrm {\therefore {\overline {MN}}={\frac {1}{2}}({\overline {AD}}+{\overline {BC}})} }$

같이 보기

• 삼각형
• 사다리꼴
• 닮음 (기하학)