직교 여공간

선형대수학에서 직교 여공간(直交餘空間, 영어: orthogonal complement)은 주어진 부분공간과 수직인 벡터들의 공간이다.

정의

내적 공간 ${\displaystyle (V,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$의 부분공간 ${\displaystyle W\subset V}$의 직교 여공간 ${\displaystyle W^{\perp }\subset V}$은 다음과 같은 부분공간이다.

${\displaystyle W^{\perp }=\{v\in V|\forall w\in W\colon \langle v,w\rangle =0\}}$

성질

내적 공간 ${\displaystyle V}$의 부분공간 ${\displaystyle W\subset V}$에 대하여, 다음이 성립한다.

• ${\displaystyle W^{\perp }}$는 닫힌 집합이다.
• ${\displaystyle W^{\perp }\cap W=\{0\}}$
• ${\displaystyle W\subset W^{\perp \perp }}$
• 만약 ${\displaystyle W_{1}\subset W_{2}\subset V}$라면, ${\displaystyle W_{2}^{\perp }\supset W_{1}^{\perp }}$이다.

만약 ${\displaystyle V}$가 힐베르트 공간이라면, 다음이 추가로 성립한다.

• ${\displaystyle W\subset \operatorname {cl} (W)=W^{\perp \perp }}$ (${\displaystyle \operatorname {cl} }$은 폐포). 따라서 만약 ${\displaystyle W}$가 닫힌 집합이라면 ${\displaystyle W=W^{\perp \perp }}$이다.
• ${\displaystyle W^{\perp }=(\operatorname {cl} W)^{\perp }=\operatorname {cl} (W^{\perp })}$
• ${\displaystyle V=\operatorname {cl} (W)\oplus W^{\perp }}$

외부 링크

• “Complementation”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Orthogonal complement”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.