초기하함수

수학에서 가우스 또는 일반 초기하 함수(hypergeometric function) ₂F₁(a, b; c; z)는 다른 많은 특수 함수를 특정 또는 극한 사례로 포함하는 초기하 급수로 표현되는 특수 함수이다. 이것은 2차 선형 상미분 방정식(ODE)의 해이다. 세 개의 정칙 특이점을 갖는 모든 2차 선형 ODE는 이 방정식으로 변환될 수 있다.

Plot of the hypergeometric function 2F1(a,b; c; z) with a=2 and b=3 and c=4 in the complex plane from −2 − 2i to 2 + 2i with colors created with Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D

초기하 함수를 포함하는 수천 개의 출판된 항등식의 체계적인 목록은 Erdélyi 외. (1953) 및 Olde Daalhuis (2010)의 참고 문헌을 참조하라. 모든 항등식을 정리하는 알려진 시스템은 없으며, 실제로 모든 항등식을 생성할 수 있는 알려진 알고리즘도 없다. 여러 가지 다른 알고리즘이 다른 계열의 항등식을 생성하는 것으로 알려져 있다. 항등식의 알고리즘적 발견 이론은 활발한 연구 주제로 남아있다.

역사

"초기하 급수"라는 용어는 존 월리스가 1655년 저서 『Arithmetica Infinitorum』에서 처음 사용했다.

초기하 급수는 레온하르트 오일러에 의해 연구되었으나, 최초의 완전한 체계적인 처리는 칼 프리드리히 가우스 (1813)에 의해 이루어졌다.

19세기 연구에는 Ernst Kummer (1836)의 연구와 초기하 함수가 만족하는 미분 방정식을 통한 리만의 근본적인 특성 규명(베른하르트 리만 (1857))이 포함된다.

리만은 복소 평면에서 조사된 ₂F₁(z)에 대한 2차 미분 방정식이 (리만 구에서) 세 개의 정칙 특이점에 의해 특징지어질 수 있음을 보였다.

해가 대수함수인 경우는 헤르만 슈바르츠가 발견했다(슈바르츠 목록).

초기하 급수

초기하 함수는 |z| < 1에 대해 멱급수로 정의된다.

$${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{n}(b)_{n}}{(c)_{n}}}{\frac {z^{n}}{n!}}=1+{\frac {ab}{c}}{\frac {z}{1!}}+{\frac {a(a+1)b(b+1)}{c(c+1)}}{\frac {z^{2}}{2!}}+\cdots .}$$

c가 음이 아닌 정수와 같으면 정의되지 않거나 (무한대가 된다). 여기서 (q)_n은 (증가) 포흐하머 기호(Pochhammer symbol)이다.^{[주 1]} 이 기호는 다음과 같이 정의된다.

$${\displaystyle (q)_{n}={\begin{cases}1&n=0\\q(q+1)\cdots (q+n-1)&n>0\end{cases}}}$$

a 또는 b가 음이 아닌 정수인 경우 이 급수는 유한하며, 이 경우 함수는 다항식으로 환원된다.

$${\displaystyle {}_{2}F_{1}(-m,b;c;z)=\sum _{n=0}^{m}(-1)^{n}{\binom {m}{n}}{\frac {(b)_{n}}{(c)_{n}}}z^{n}.}$$

|z| ≥ 1인 복소 인수 z에 대해, 이 함수는 1과 무한대의 분기점을 피하는 복소 평면상의 모든 경로를 따라 해석적 연속될 수 있다. 실제로, 초기하 함수의 대부분의 컴퓨터 구현은 선 z ≥ 1을 따라 분지 절단을 채택한다.

m이 음이 아닌 정수일 때, c → −m이면 ₂F₁(z) → ∞이 된다. 감마 함수의 값 Γ(c)로 나누면 다음 극한을 얻는다.

$${\displaystyle \lim _{c\to -m}{\frac {{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}{\Gamma (c)}}={\frac {(a)_{m+1}(b)_{m+1}}{(m+1)!}}z^{m+1}{}_{2}F_{1}(a+m+1,b+m+1;m+2;z)}$$

₂F₁(z)는 가장 일반적인 유형의 일반화된 초기하급수 _pF_q이다.

미분 공식

항등식 ${\displaystyle (a)_{n+1}=a(a+1)_{n}}$을 사용하여 다음을 보인다.

$${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\ {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)={\frac {ab}{c}}\ {}_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+1;z)}$$

그리고 더 일반적으로,

$${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\ {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)={\frac {(a)_{n}(b)_{n}}{(c)_{n}}}\ {}_{2}F_{1}(a+n,b+n;c+n;z)}$$

특수 사례

많은 일반적인 수학 함수는 초기하 함수로 표현될 수 있거나 그 극한 사례로 표현될 수 있다. 몇 가지 전형적인 예는 다음과 같다.

$${\displaystyle {\begin{aligned}_{2}F_{1}\left(1,1;2;-z\right)&={\frac {\ln(1+z)}{z}}\\_{2}F_{1}(a,b;b;z)&=(1-z)^{-a}\quad (b{\text{ 임의의}})\\_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};{\frac {3}{2}};z^{2}\right)&={\frac {\arcsin(z)}{z}}\\\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}};{\frac {3}{2}};-{\frac {27x^{2}}{4}}\right)&={\frac {{\sqrt[{3}]{\frac {3x{\sqrt {3}}+{\sqrt {27x^{2}+4}}}{2}}}-{\sqrt[{3}]{\frac {2}{3x{\sqrt {3}}+{\sqrt {27x^{2}+4}}}}}}{x{\sqrt {3}}}}\end{aligned}}}$$ a = 1이고 b = c일 때, 급수는 단순한 등비급수로 환원된다. 즉, $${\displaystyle {\begin{aligned}_{2}F_{1}\left(1,b;b;z\right)&={_{1}F_{0}}\left(1;;z\right)=1+z+z^{2}+z^{3}+z^{4}+\cdots \end{aligned}}}$$

따라서 초기하라는 이름이 붙는다. 이 함수는 등비급수의 일반화로 볼 수 있다.

합류 초기하 함수(또는 쿠머 함수)는 초기하 함수의 극한으로 주어질 수 있다.

$${\displaystyle M(a,c,z)=\lim _{b\to \infty }{_{2}F_{1}}(a,b;c;b^{-1}z)}$$

따라서 베셀 함수와 같이 본질적으로 이 함수의 특수 사례인 모든 함수는 초기하 함수의 극한으로 표현될 수 있다. 여기에는 수학 물리학에서 일반적으로 사용되는 대부분의 함수가 포함된다.

르장드르 함수는 3개의 정칙 특이점을 갖는 2차 미분 방정식의 해이므로 여러 가지 방식으로 초기하 함수로 표현될 수 있다. 예를 들어

$${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,1-a;c;z)=\Gamma (c)z^{\tfrac {1-c}{2}}(1-z)^{\tfrac {c-1}{2}}P_{-a}^{1-c}(1-2z)}$$

야코비 다항식 P(α,β)
n 및 그 특수 사례인 르장드르 다항식, 체비쇼프 다항식, 게겐바우어 다항식, 제르니케 다항식을 포함한 여러 직교 다항식은 다음을 사용하여 초기하 함수로 표현될 수 있다.

$${\displaystyle {}_{2}F_{1}(-n,\alpha +1+\beta +n;\alpha +1;x)={\frac {n!}{(\alpha +1)_{n}}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1-2x)}$$

특수 사례인 다른 다항식에는 크라우추크 다항식, 마이크스너 다항식, 마이크스너-폴라체크 다항식이 포함된다.

${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{0,1\}}$이 주어지면, 다음이라고 하자.

$${\displaystyle \tau ={\rm {i}}{\frac {{}_{2}F_{1}{\bigl (}{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};1;1-z{\bigr )}}{{}_{2}F_{1}{\bigl (}{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};1;z{\bigr )}}}.}$$

그러면

$${\displaystyle \lambda (\tau )={\frac {\theta _{2}(\tau )^{4}}{\theta _{3}(\tau )^{4}}}=z}$$

는 모듈러 람다 함수이며, 여기서

$${\displaystyle \theta _{2}(\tau )=\sum _{n\in \mathbb {Z} }e^{\pi i\tau (n+1/2)^{2}},\quad \theta _{3}(\tau )=\sum _{n\in \mathbb {Z} }e^{\pi i\tau n^{2}}.}$$

J-불변량, 즉 모듈러 형식은 ${\displaystyle \lambda (\tau )}$의 유리 함수이다.

불완전 베타 함수 B_x(p, q)는 다음과 같이 관련되어 있다.

$${\displaystyle B_{x}(p,q)={\tfrac {x^{p}}{p}}{}_{2}F_{1}(p,1-q;p+1;x).}$$

완전 타원 적분 K와 E는 다음과 같이 주어진다.^[1]

$${\displaystyle {\begin{aligned}K(k)&={\tfrac {\pi }{2}}\,_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};1;k^{2}\right),\\E(k)&={\tfrac {\pi }{2}}\,_{2}F_{1}\left(-{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};1;k^{2}\right).\end{aligned}}}$$

초기하 미분 방정식

초기하 함수는 오일러의 초기하 미분 방정식의 해이다.

$${\displaystyle z(1-z){\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left[c-(a+b+1)z\right]{\frac {dw}{dz}}-ab\,w=0.}$$

이 방정식은 세 개의 정칙 특이점: 0, 1, ∞를 갖는다. 세 개의 임의의 정칙 특이점에 대한 이 방정식의 일반화는 리만의 미분 방정식에 의해 주어진다. 세 개의 정칙 특이점을 갖는 모든 2차 선형 미분 방정식은 변수 변환을 통해 초기하 미분 방정식으로 변환될 수 있다.

특이점에서의 해

초기하 미분 방정식의 해는 초기하 급수 ₂F₁(a, b; c; z)로 구성된다. 이 방정식은 두 개의 선형 독립 해를 갖는다. 세 개의 특이점 0, 1, ∞ 각각에서, 일반적으로 x^s에 x의 정칙 함수를 곱한 형태의 두 개의 특수 해가 존재한다. 여기서 s는 지표 방정식의 두 근 중 하나이고 x는 정칙 특이점에서 소멸하는 국소 변수이다. 이는 다음과 같이 3 × 2 = 6개의 특수 해를 제공한다.

z = 0 지점 근처에서 c가 음이 아닌 정수가 아닌 경우 두 개의 독립적인 해는 다음과 같다.

$${\displaystyle _{2}F_{1}(a,b;c;z)}$$

그리고 c가 정수가 아니라는 조건하에,

$${\displaystyle z^{1-c}{_{2}F_{1}}(1+a-c,1+b-c;2-c;z)}$$

c가 음이 아닌 정수 1 − m인 경우, 첫 번째 해는 존재하지 않으며 ${\displaystyle z^{m}F(a+m,b+m;1+m;z)}$로 대체되어야 한다. c가 1보다 큰 정수인 경우 두 번째 해는 존재하지 않으며, c가 다른 정수인 경우 첫 번째 해 또는 그 대체 해와 동일하다. 따라서 c가 정수인 경우, 두 번째 해에 대해 첫 번째 해에 ln(z)를 곱한 것과 z의 거듭제곱으로 이루어진 다른 급수, 그리고 디감마 함수를 포함하는 더 복잡한 표현이 사용되어야 한다. 자세한 내용은 Olde Daalhuis (2010)을 참조하라.

z = 1 근처에서 c − a − b가 정수가 아니면 두 개의 독립적인 해는 다음과 같다.

$${\displaystyle \,_{2}F_{1}(a,b;1+a+b-c;1-z)}$$

그리고

$${\displaystyle (1-z)^{c-a-b}\;_{2}F_{1}(c-a,c-b;1+c-a-b;1-z)}$$

z = ∞ 근처에서 a − b가 정수가 아니면 두 개의 독립적인 해는 다음과 같다.

$${\displaystyle z^{-a}\,_{2}F_{1}\left(a,1+a-c;1+a-b;z^{-1}\right)}$$

그리고

$${\displaystyle z^{-b}\,_{2}F_{1}\left(b,1+b-c;1+b-a;z^{-1}\right).}$$

다시 말해, 정수가 아닌 조건이 충족되지 않을 때, 더 복잡한 다른 해들이 존재한다.

위 6가지 해 중 임의의 3가지는 해 공간이 2차원이므로 선형 관계를 만족하며, 이로 인해 (6
3) = 20가지 선형 관계가 발생하는데, 이를 연결 공식이라고 한다.

쿠머의 24가지 해

n개의 특이점을 갖는 2차 푸크스형 방정식은 해에 (사영적으로) 작용하는 대칭군을 가지며, 이는 차수 2ⁿ⁻¹n!인 콕서터 군 W(D_n)과 동형이다. 초기하 방정식은 n = 3인 경우로, 차수 24인 군이 4개의 점에 대한 대칭군과 동형이며, 이는 쿠머가 처음 설명했다. 대칭군의 등장은 우발적이며 3개 이상의 특이점에 대해서는 유비가 없으므로, 때로는 이 군을 3개의 점에 대한 대칭군 (3개의 특이점의 순열로 작용)에 클라인 4군 (그 원소가 짝수 개의 특이점에서 지수 차이의 부호를 변경)을 확장한 것으로 생각하는 것이 더 좋다. 쿠머의 24개 변환군은 해 F(a, b; c; z)를 다음 중 하나로 변환하는 세 가지 변환에 의해 생성된다.

$${\displaystyle {\begin{aligned}(1-z)^{-a}F\left(a,c-b;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right)\\F(a,b;1+a+b-c;1-z)\\(1-z)^{-b}F\left(c-a,b;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right)\end{aligned}}}$$

이것들은 1, 2, 3, 4의 4개 점에 대한 대칭군과의 동형 아래에서 전위 (12), (23), (34)에 해당한다. (이 중 첫 번째와 세 번째는 실제로는 F(a, b; c; z)와 같으며, 두 번째는 미분 방정식의 독립적인 해이다.)

쿠머의 24 = 6×4 변환을 초기하 함수에 적용하면 위에서 설명한 6 = 2×3개의 해가 각 3개 특이점의 2가지 가능한 지수에 해당하며, 각각은 다음 항등식 때문에 4번 나타난다.

$${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)&=(1-z)^{c-a-b}\,{}_{2}F_{1}(c-a,c-b;c;z)&&{\text{오일러 변환}}\\{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)&=(1-z)^{-a}\,{}_{2}F_{1}(a,c-b;c;{\tfrac {z}{z-1}})&&{\text{파프 변환}}\\{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)&=(1-z)^{-b}\,{}_{2}F_{1}(c-a,b;c;{\tfrac {z}{z-1}})&&{\text{파프 변환}}\end{aligned}}}$$

Q-형식

초기하 미분 방정식은 u = wv로 치환하고 1차 미분 항을 제거하여 Q-형식으로 변환할 수 있다.

$${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dz^{2}}}+Q(z)u(z)=0}$$

Q는 다음과 같다.

$${\displaystyle Q={\frac {z^{2}[1-(a-b)^{2}]+z[2c(a+b-1)-4ab]+c(2-c)}{4z^{2}(1-z)^{2}}}}$$

그리고 v는 다음 해로 주어진다.

$${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\log v(z)=-{\frac {c-z(a+b+1)}{2z(1-z)}}=-{\frac {c}{2z}}-{\frac {1+a+b-c}{2(z-1)}}}$$

이것은

$${\displaystyle v(z)=z^{-c/2}(1-z)^{(c-a-b-1)/2}.}$$

Q-형식은 슈바르치안 (Hille 1976, 307–401쪽)과의 관계에서 중요하다.

슈바르츠 삼각형 사상

 이 부분의 본문은 슈바르츠 삼각형 함수입니다.

슈바르츠 삼각형 사상 또는 슈바르츠 s-함수는 쌍의 해의 비율이다.

$${\displaystyle s_{k}(z)={\frac {\phi _{k}^{(1)}(z)}{\phi _{k}^{(0)}(z)}}}$$

여기서 k는 점 0, 1, ∞ 중 하나이다. 다음 표기법

$${\displaystyle D_{k}(\lambda ,\mu ,\nu ;z)=s_{k}(z)}$$

도 때때로 사용된다. 연결 계수는 삼각형 사상에 대한 뫼비우스 변환이 된다는 점에 유의하라.

각 삼각형 사상은 각각 z ∈ {0, 1, ∞}에서 정칙이며,

$${\displaystyle {\begin{aligned}s_{0}(z)&=z^{\lambda }(1+{\mathcal {O}}(z))\\s_{1}(z)&=(1-z)^{\mu }(1+{\mathcal {O}}(1-z))\end{aligned}}}$$ 이고 $${\displaystyle s_{\infty }(z)=z^{\nu }(1+{\mathcal {O}}({\tfrac {1}{z}})).}$$

λ, μ, ν가 실수이고 0 ≤ λ,μ,ν < 1인 특수 경우에, s-사상은 원호로 둘러싸인 리만 구 위의 삼각형으로의 상반평면 H의 등각 사상이다. 이 사상은 원호가 있는 삼각형으로의 슈바르츠-크리스토펠 사상의 일반화이다. 특이점 0, 1, ∞는 삼각형 꼭짓점으로 보내진다. 삼각형의 각도는 각각 πλ, πμ, πν이다.

더 나아가, λ=1/p, μ=1/q, ν=1/r (p, q, r은 정수)인 경우, 삼각형은 λ + μ + ν − 1이 양수, 0 또는 음수인지에 따라 구, 복소 평면 또는 상반 평면을 타일링하며, s-사상은 삼각군 <p, q, r> = Δ(p, q, r)에 대한 자동형 함수의 역함수이다.

모노드로미 군

초기하 방정식의 모노드로미는 z 평면에서 동일한 지점으로 돌아오는 경로를 따라 해석적으로 계속될 때 기본 해가 어떻게 변하는지 설명한다. 즉, ₂F₁의 특이점 주위로 경로가 감길 때, 끝점에서의 해의 값은 시작점과 다를 것이다.

초기하 방정식의 두 기본 해는 선형 변환에 의해 서로 관련되어 있다. 따라서 모노드로미는 사상 (군 준동형):

$${\displaystyle \pi _{1}(\mathbf {C} \setminus \{0,1\},z_{0})\to {\text{GL}}(2,\mathbf {C} )}$$

여기서 π₁은 기본군이다. 다시 말해, 모노드로미는 기본군의 2차원 선형 표현이다. 방정식의 모노드로미 군은 이 사상의 이미지, 즉 모노드로미 행렬에 의해 생성된 군이다. 기본군의 모노드로미 표현은 특이점의 지수를 사용하여 명시적으로 계산할 수 있다.^[2] 0, 1, ∞에서의 지수가 (α, α'), (β, β'), (γ, γ')이면, 0 근처의 z₀를 취할 때, 0과 1 주위의 루프는 다음 모노드로미 행렬을 갖는다.

$${\displaystyle {\begin{aligned}g_{0}&={\begin{pmatrix}e^{2\pi i\alpha }&0\\0&e^{2\pi i\alpha ^{\prime }}\end{pmatrix}}\\g_{1}&={\begin{pmatrix}{\mu e^{2\pi i\beta }-e^{2\pi i\beta ^{\prime }} \over \mu -1}&{\mu (e^{2\pi i\beta }-e^{2\pi i\beta ^{\prime }}) \over (\mu -1)^{2}}\\e^{2\pi i\beta ^{\prime }}-e^{2\pi i\beta }&{\mu e^{2\pi i\beta ^{\prime }}-e^{2\pi i\beta } \over \mu -1}\end{pmatrix}},\end{aligned}}}$$

여기서

$${\displaystyle \mu ={\sin \pi (\alpha +\beta ^{\prime }+\gamma ^{\prime })\sin \pi (\alpha ^{\prime }+\beta +\gamma ^{\prime }) \over \sin \pi (\alpha ^{\prime }+\beta ^{\prime }+\gamma ^{\prime })\sin \pi (\alpha +\beta +\gamma ^{\prime })}.}$$

1 − a, c − a − b, a − b가 분모가 k, l, m인 비정수 유리수인 경우, 모노드로미 군은 ${\displaystyle 1/k+1/l+1/m>1}$인 경우에만 유한하다. 슈바르츠 목록 또는 코바치치 알고리즘을 참조하라.

적분 공식

오일러 유형

B가 베타 함수이면

$${\displaystyle \mathrm {B} (b,c-b){_{2}F_{1}}(a,b;c;z)=\int _{0}^{1}x^{b-1}(1-x)^{c-b-1}(1-zx)^{-a}\,dx\qquad \Re (c)>\Re (b)>0,}$$

단, z는 1보다 크거나 같은 실수가 아니다. 이것은 (1 − zx)^−a를 이항 정리를 사용하여 확장하고, 절댓값이 1보다 작은 z에 대해 항별로 적분한 다음, 다른 곳에서는 해석적 연속을 통해 증명할 수 있다. z가 1보다 크거나 같은 실수인 경우, 해석적 연속이 사용되어야 하는데, (1 − zx)가 적분의 지지점의 어느 지점에서 0이 되므로 적분 값이 제대로 정의되지 않을 수 있기 때문이다. 이것은 1748년 오일러에 의해 제시되었으며 오일러의 및 파프의 초기하 변환을 의미한다.

다른 주가지에 해당하는 다른 표현은 동일한 피적분 함수를 취하지만 적분 경로를 다양한 순서로 특이점을 둘러싸는 닫힌 포흐하머 주기로 취하여 주어진다. 이러한 경로는 모노드로미 작용에 해당한다.

반스 적분

반스는 유수 이론을 사용하여 반스 적분을 평가했다.

$${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {\Gamma (a+s)\Gamma (b+s)\Gamma (-s)}{\Gamma (c+s)}}(-z)^{s}\,ds}$$

다음과 같이

$${\displaystyle {\frac {\Gamma (a)\Gamma (b)}{\Gamma (c)}}\,_{2}F_{1}(a,b;c;z),}$$

여기서 등고선은 극점 0, 1, 2...를 극점 −a, −a − 1, ..., −b, −b − 1, ... 와 분리하도록 그려진다. 이것은 z가 음이 아닌 실수값이 아닌 한 유효하다.

존 변환

가우스 초기하 함수는 존 변환 (Gelfand, Gindikin & Graev 2003, 2.1.2)으로 쓸 수 있다.

가우스의 인접 관계

여섯 가지 함수

$${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a\pm 1,b;c;z),\quad {}_{2}F_{1}(a,b\pm 1;c;z),\quad {}_{2}F_{1}(a,b;c\pm 1;z)}$$

는 ₂F₁(a, b; c; z)에 인접한다고 불린다. 가우스는 ₂F₁(a, b; c; z)가 a, b, c, 그리고 z의 유리 계수를 갖는 그 인접 함수 중 임의의 두 함수의 선형 조합으로 쓰일 수 있음을 보였다. 이는 다음을 제공한다.

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}}=15}$$

오른쪽의 두 줄을 식별함으로써 주어진 15개의 관계는 다음과 같다.

$${\displaystyle {\begin{aligned}z{\frac {dF}{dz}}&=z{\frac {ab}{c}}F(a+,b+,c+)\\&=a(F(a+)-F)\\&=b(F(b+)-F)\\&=(c-1)(F(c-)-F)\\&={\frac {(c-a)F(a-)+(a-c+bz)F}{1-z}}\\&={\frac {(c-b)F(b-)+(b-c+az)F}{1-z}}\\&=z{\frac {(c-a)(c-b)F(c+)+c(a+b-c)F}{c(1-z)}}\end{aligned}}}$$

여기서 F = ₂F₁(a, b; c; z), F(a+) = _2F1(a + 1, b; c; z), 등등이다. 이러한 관계를 반복적으로 적용하면 다음과 같은 형식의 임의의 세 함수 사이에 C(z)에 대한 선형 관계가 주어진다.

$${\displaystyle {_{2}F_{1}}(a+m,b+n;c+l;z),}$$

여기서 m, n, l은 정수이다.^{[3] [4]}

가우스의 연분수

 이 부분의 본문은 가우스 연분수입니다.

가우스는 인접 관계를 이용하여 두 초기하 함수의 몫을 연분수로 쓰는 여러 가지 방법을 제시했다. 예를 들면 다음과 같다.

$${\displaystyle {\frac {{}_{2}F_{1}(a+1,b;c+1;z)}{{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {{\frac {(a-c)b}{c(c+1)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(b-c-1)(a+1)}{(c+1)(c+2)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(a-c-1)(b+1)}{(c+2)(c+3)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(b-c-2)(a+2)}{(c+3)(c+4)}}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}}}$$

변환 공식

변환 공식은 인자 z의 다른 값에서 두 초기하 함수를 관련시킨다.

분수 선형 변환

오일러의 변환은 다음과 같다. $${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{c-a-b}{}_{2}F_{1}(c-a,c-b;c;z).}$$ 이는 두 가지 파프 변환을 결합하여 얻어진다. $${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)&=(1-z)^{-b}{}_{2}F_{1}\left(b,c-a;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right)\\{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)&=(1-z)^{-a}{}_{2}F_{1}\left(a,c-b;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right)\\\end{aligned}}}$$ 이는 다시 오일러의 적분 표현에서 비롯된다. 오일러의 1차 및 2차 변환의 확장については Rathie & Paris (2007) 및 Rakha & Rathie (2011)을 참조하라. 또한 선형 결합으로 다음과 같이 쓸 수 있다. $${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)={}&{\frac {\Gamma (c)\Gamma (c-a-b)}{\Gamma (c-a)\Gamma (c-b)}}{}_{2}F_{1}(a,b;a+b+1-c;1-z)\\[6pt]&{}+{\frac {\Gamma (c)\Gamma (a+b-c)}{\Gamma (a)\Gamma (b)}}(1-z)^{c-a-b}{}_{2}F_{1}(c-a,c-b;1+c-a-b;1-z).\end{aligned}}}$$

이차 변환

숫자 1 − c, c − 1, a − b, b − a, a + b − c, c − a − b 중 두 개가 같거나 그 중 하나가 1/2이면, 초기하 함수에는 이차 방정식으로 관련된 z의 다른 값으로 연결되는 이차 변환이 있다. 첫 번째 예시는 Kummer (1836)에 의해 제시되었고, 완전한 목록은 Goursat (1881)에 의해 제시되었다. 일반적인 예시는 다음과 같다.

$${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;2b;z)=(1-z)^{-{\frac {a}{2}}}{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}}a,b-{\tfrac {1}{2}}a;b+{\tfrac {1}{2}};{\frac {z^{2}}{4z-4}}\right)}$$

고차 변환

1−c, a−b, a+b−c가 부호만 다르거나 그 중 두 개가 1/3 또는 −1/3이면, 초기하 함수에는 3차 방정식으로 관련된 z의 다른 값으로 연결되는 3차 변환이 있다. 첫 번째 예시는 Goursat (1881)에 의해 제시되었다. 일반적인 예시는 다음과 같다.

$${\displaystyle {}_{2}F_{1}\left({\tfrac {3}{2}}a,{\tfrac {1}{2}}(3a-1);a+{\tfrac {1}{2}};-{\tfrac {z^{2}}{3}}\right)=(1+z)^{1-3a}\,{}_{2}F_{1}\left(a-{\tfrac {1}{3}},a;2a;2z(3+z^{2})(1+z)^{-3}\right)}$$

4차 및 6차 변환도 일부 존재한다. 다른 차수의 변환은 a, b, c가 특정 유리수인 경우에만 존재한다. (Vidunas 2005). 예를 들어, $${\displaystyle {}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {3}{8}};{\tfrac {7}{8}};z\right)(z^{4}-60z^{3}+134z^{2}-60z+1)^{1/16}={}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{48}},{\tfrac {17}{48}};{\tfrac {7}{8}};{\tfrac {-432z(z-1)^{2}(z+1)^{8}}{(z^{4}-60z^{3}+134z^{2}-60z+1)^{3}}}\right).}$$

특수점 z에서의 값

특수점에서 합 공식 목록은 Slater (1966, Appendix III)를 참조하고, 대부분은 Bailey (1935)에도 나타난다. Gessel & Stanton (1982)는 더 많은 지점에서의 추가 평가를 제공한다. Koepf (1995)는 이 항등식들 대부분이 컴퓨터 알고리즘으로 어떻게 검증될 수 있는지 보여준다.

z = 1에서의 특수 값

카를 프리드리히 가우스의 이름을 딴 가우스 합산 정리는 항등식이다.

$${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;1)={\frac {\Gamma (c)\Gamma (c-a-b)}{\Gamma (c-a)\Gamma (c-b)}},\qquad \Re (c)>\Re (a+b)}$$

이는 오일러의 적분 공식에서 z = 1을 대입하여 얻어진다. 여기에는 반데르몽드 항등식이 특수 사례로 포함된다.

${\displaystyle a=-m}$인 특수한 경우, $${\displaystyle {}_{2}F_{1}(-m,b;c;1)={\frac {(c-b)_{m}}{(c)_{m}}}}$$

두갈의 공식은 이를 z = 1에서의 쌍방 초기하 급수로 일반화한다.

쿠머의 정리 (z = −1)

초기하 함수는 이차 변환을 사용하여 z = −1을 z = 1로 변경한 다음 가우스의 정리를 사용하여 결과를 평가함으로써 z = −1에서 평가할 수 있는 경우가 많다. 전형적인 예는 쿠머의 이름을 딴 쿠머의 정리이다.

$${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;1+a-b;-1)={\frac {\Gamma (1+a-b)\Gamma (1+{\tfrac {1}{2}}a)}{\Gamma (1+a)\Gamma (1+{\tfrac {1}{2}}a-b)}}}$$

이는 쿠머의 이차 변환에서 비롯된다.

$${\displaystyle {\begin{aligned}_{2}F_{1}(a,b;1+a-b;z)&=(1-z)^{-a}\;_{2}F_{1}\left({\frac {a}{2}},{\frac {1+a}{2}}-b;1+a-b;-{\frac {4z}{(1-z)^{2}}}\right)\\&=(1+z)^{-a}\,_{2}F_{1}\left({\frac {a}{2}},{\frac {a+1}{2}};1+a-b;{\frac {4z}{(1+z)^{2}}}\right)\end{aligned}}}$$

그리고 첫 번째 항등식에 z = −1을 대입하여 가우스의 정리를 적용한 결과이다. 쿠머의 합산의 일반화については Lavoie, Grondin & Rathie (1996)을 참조하라.

z = 1/2에서의 값

가우스의 두 번째 합산 정리는 다음과 같다.

$${\displaystyle _{2}F_{1}\left(a,b;{\tfrac {1}{2}}\left(1+a+b\right);{\tfrac {1}{2}}\right)={\frac {\Gamma ({\tfrac {1}{2}})\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+a+b\right))}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+a)\right)\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+b\right))}}.}$$

베일리의 정리는 다음과 같다.

$${\displaystyle _{2}F_{1}\left(a,1-a;c;{\tfrac {1}{2}}\right)={\frac {\Gamma ({\tfrac {1}{2}}c)\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+c\right))}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(c+a\right))\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+c-a\right))}}.}$$

가우스의 두 번째 합산 정리 및 베일리의 합산 정리의 일반화については Lavoie, Grondin & Rathie (1996)을 참조하라.

기타 지점

초기하 함수를 매개변수의 특정 유리수 값에서 대수적 숫자로 제공하는 다른 많은 공식이 있으며, 그 중 일부는 Gessel & Stanton (1982) 및 Koepf (1995)에 나열되어 있다. 몇 가지 전형적인 예는 다음과 같다.

$${\displaystyle {}_{2}F_{1}\left(a,-a;{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {x^{2}}{4(x-1)}}\right)={\frac {(1-x)^{a}+(1-x)^{-a}}{2}},}$$

다음과 같이 다시 표현될 수 있다.

$${\displaystyle T_{a}(\cos x)={}_{2}F_{1}\left(a,-a;{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {1}{2}}(1-\cos x)\right)=\cos(ax)}$$

−π < x < π이고 T가 (일반화된) 체비쇼프 다항식인 경우.

같이 보기

• 아펠 급수
• 기본 초기하 급수
• 쌍방 초기하 급수
• 타원 초기하 급수
• 일반 초기하 함수
• 일반화된 초기하급수
• 초기하 분포
• 로리첼라 초기하 급수
• 모듈러 초기하 급수
• 리만의 미분 방정식