초등대수학

초등대수학(Elementary algebra)은 수학의 주요 분야 중 하나인 대수학의 기본 개념 중 일부를 포함한다. 이 학문은 일반적으로 중등 학교 학생들에게 가르치고 산술에 대한 이해를 바탕으로 한다. 산술이 지정된 숫자를 다루는 반면,^[1] 대수는 변수로 알려진 고정 값이 없는 양을 도입한다.^[2] 이러한 변수의 사용은 대수 표기법의 사용과 산술에 도입된 연산의 일반 규칙에 대한 이해를 수반한다. 추상 대수학과 달리 초등대수학은 실수 및 복소수 영역 밖의 대수 구조와 관련이 없다.

수량을 표시하기 위해 변수를 사용하면 수량 간의 일반적인 관계를 공식적이고 간결하게 표현할 수 있으므로 더 넓은 범위의 문제를 해결할 수 있다. 과학과 수학의 많은 양적 관계는 대수 방정식으로 표현된다.

대수 표기법

대수 표기법은 수학적 표현을 작성하기 위한 규칙과 관례뿐만 아니라 표현의 일부에 대해 이야기하는 데 사용되는 용어를 설명한다.

계수는 변수를 곱하는 숫자 값 또는 숫자 상수를 나타내는 문자이다(연산자는 생략됨). 항은 더하기 및 빼기 연산자에 의해 다른 항과 분리될 수 있는 계수, 변수, 상수 및 지수를 가리킨다.^[3] 문자는 변수와 상수를 나타낸다. 관례에 따라 알파벳 시작 부분의 문자(예: ${\displaystyle a,b,c}$ )는 일반적으로 상수를 나타내는 데 사용되며 알파벳의 끝 부분(예: ${\displaystyle x,y}$ 및 z )는 변수를 나타내는 데 사용된다.^[4] 일반적으로 이탤릭체로 작성된다.^[5]

대수 연산 은 더하기, 빼기, 곱하기, 나누기 및 지수와 같은 산술 연산^[6]과 같은 방식으로 작동한다.^[7] 대수 변수 및 용어에 적용된다. 곱셈 기호는 일반적으로 생략되며 두 변수 또는 항 사이에 공백이 없거나 계수가 사용될 때 암시된다. 예를 들어, ${\displaystyle 3\times x^{2}}$ 로 쓰여진다 ${\displaystyle 3x^{2}}$, 그리고 ${\displaystyle 2\times x\times y}$ 쓰여질 수 있다 ${\displaystyle 2xy}$ .^[8]

일반적으로 가장 높은 거듭제곱( 지수 )을 가진 항은 왼쪽에 기록된다. 예를 들어, ${\displaystyle x^{2}}$ x 의 왼쪽에 쓴다. 계수가 1이면 일반적으로 생략된다(예: ${\displaystyle 1x^{2}}$는 ${\displaystyle x^{2}}$으로 쓴다 ).^[9] 마찬가지로 지수(제곱)가 1일 때(예: ${\displaystyle 3x^{1}}$는 ${\displaystyle 3x}$로 쓴다).^[10] 지수가 0이면 결과는 항상 1이다(예: ${\displaystyle x^{0}}$ 은 1이다 )로 다시 작성된다.^[11] 하지만 ${\displaystyle 0^{0}}$, 정의되지 않았으므로 표현식에 나타나지 않아야 하며 변수가 지수에 나타날 수 있는 표현식을 단순화하는 데 주의해야 한다.

대체 표기법

다른 유형의 표기법은 필요한 형식을 사용할 수 없거나 문자와 기호만 사용할 수 있는 경우와 같이 암시할 수 없는 경우 대수식에 사용된다. 이에 대한 설명으로 지수는 일반적으로 위 첨자를 사용하여 형식이 지정된다. 예: ${\displaystyle x^{2}}$, 일반 텍스트 및 TeX 마크업 언어에서 캐럿 기호 "^"는 지수를 나타낸다. ${\displaystyle x^{2}}$ "x^2".,^[12][13] 및 Lua와 같은 일부 프로그래밍 언어로 작성된다. Ada,^[14] Fortran,^[15] Perl,^[16] 파이썬^[17] 및 Ruby,^[18] 같은 프로그래밍 언어에서는 이중 별표가 사용되므로 ${\displaystyle x^{2}}$ "x**2"로 작성된다. 많은 프로그래밍 언어와 계산기는 곱셈 기호를 나타내기 위해 단일 별표를 사용한다.^[19] 예를 들어 다음과 같이 명시적으로 사용해야 한다. ${\displaystyle 3x}$ "3*x"로 기록된다.

개념

변수

원의 지름과 원주 사이의 관계를 보여주는 변수의 예. 모든 원에 대해 둘레 c 를 직경 d 로 나눈 값은 상수 pi와 같다. ${\displaystyle \pi }$ (약 3.14).

초등대수학은 일반(지정되지 않은) 숫자를 나타내는 변수라는 문자를 도입하여 산술^[20]을 구축하고 확장한다. 이것은 여러 가지 이유로 유용하다.

1. 변수는 값이 아직 알려지지 않은 숫자를 나타낼 수 있다 . 예를 들어, 오늘의 온도 C가 전날의 온도 P보다 20도 높으면 문제는 대수적으로 다음과 같이 설명할 수 있다. ${\displaystyle C=P+20}$ .^[21]
2. 변수를 사용하면 관련된 양의 값을 지정하지 않고^[22] 일반적인 문제를 설명할 수 있다. 예를 들어 5분은 다음과 같다고 구체적으로 말할 수 있다. ${\displaystyle 60\times 5=300}$ 초. 보다 일반적인(대수적) 설명은 초 수, ${\displaystyle s=60\times m}$, 여기서 m은 분 수이다.
3. 변수를 사용하면 변할 수 있는 수량 간의 수학적 관계를 설명할 수 있다.^[23] 예를 들어, 원의 둘레 c 와 지름 d 사이의 관계는 다음과 같이 설명된다. ${\displaystyle \pi =c/d}$ .
4. 변수를 사용하면 몇 가지 수학적 속성을 설명할 수 있다. 예를 들어, 덧셈의 기본 속성은 함께 더해지는 숫자의 순서가 중요하지 않다는 가환성이다. 교환성은 다음과 같이 대수적으로 표현된다. ${\displaystyle (a+b)=(b+a)}$ .^[24]

표현식 단순화

산술 연산의 기본 속성( 더하기, 빼기, 곱하기, 나누기 및 지수 )을 기반으로 대수 표현식을 평가하고 단순화할 수 있다. 예를 들어,

• 추가된 항은 계수를 사용하여 단순화된다. 예를 들어, ${\displaystyle x+x+x}$ 다음과 같이 단순화할 수 있다. ${\displaystyle 3x}$ (여기서 3은 수치 계수임).
• 곱한 항은 지수를 사용하여 단순화된다. 예를 들어, ${\displaystyle x\times x\times x}$ 로 표현된다 ${\displaystyle x^{3}}$
• 예를 들어,^[25]과 같은 용어가 함께 추가된다. ${\displaystyle 2x^{2}+3ab-x^{2}+ab}$ 로 쓰여진다 ${\displaystyle x^{2}+4ab}$, 포함하는 용어 때문에 ${\displaystyle x^{2}}$ 함께 추가되고, 다음을 포함하는 용어 ${\displaystyle ab}$ 함께 추가된다.
• 대괄호는 분배적 속성을 사용하여 "곱할 수 있다". 예를 들어, ${\displaystyle x(2x+3)}$ 다음과 같이 쓸 수 있다. ${\displaystyle (x\times 2x)+(x\times 3)}$ 다음과 같이 쓸 수 있는 ${\displaystyle 2x^{2}+3x}$
• 표현식을 인수분해할 수 있다. 예를 들어, ${\displaystyle 6x^{5}+3x^{2}}$, 두 항을 다음으로 나누어 ${\displaystyle 3x^{2}}$ 다음과 같이 쓸 수 있다. ${\displaystyle 3x^{2}(2x^{3}+1)}$

등식

등식은 같음 기호 = ( 등호 )를 사용하여 두 식이 같음을 나타낸다.^[26] 가장 잘 알려진 등식 중 하나는 직각삼각형의 변의 길이와 관련된 피타고라스의 법칙을 설명한다.^[27]

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}$

이 방정식은 다음을 나타낸다. ${\displaystyle c^{2}}$ 빗변인 변의 길이의 제곱을 나타내는, 직각의 반대 변은 길이가 a 와 b 로 표시되는 다른 두 변의 제곱의 합(덧셈)과 같다.

평등의 속성

정의에 따르면 평등은 등가 관계이며, 이는 속성이 (a) 재귀적 (즉, ${\displaystyle b=b}$ ), (b) 대칭 (즉, ${\displaystyle a=b}$ 그 다음에 ${\displaystyle b=a}$ ) (c) 타동사 ${\displaystyle a=b}$ 그리고 ${\displaystyle b=c}$ 그 다음에 ${\displaystyle a=c}$ ).^[28] 또한 두 개의 기호가 동일한 것에 사용되면 첫 번째에 대한 참 진술에서 하나의 기호가 다른 것으로 대체될 수 있고 그 진술은 참으로 유지된다는 중요한 속성을 충족한다. 이는 다음 속성을 의미한다.

• 만약 ${\displaystyle a=b}$ 그리고 ${\displaystyle c=d}$ 그 다음에 ${\displaystyle a+c=b+d}$ 그리고 ${\displaystyle ac=bd}$ ;
• 만약 ${\displaystyle a=b}$ 그 다음에 ${\displaystyle a+c=b+c}$ 그리고 ${\displaystyle ac=bc}$ ;
• 더 일반적으로, 어떤 함수 f 에 대해, 만약 ${\displaystyle a=b}$ 그 다음에 ${\displaystyle f(a)=f(b)}$ .

부등식의 속성

~보다 작은 관계 ${\displaystyle <}$ 그리고 ~보다 큰 ${\displaystyle >}$ 속성이 있다:^[29]

• 만약에 ${\displaystyle a<b}$ 그리고 ${\displaystyle b<c}$ 그 다음에 ${\displaystyle a<c}$ ;
• 만약에 ${\displaystyle a<b}$ 그리고 ${\displaystyle c<d}$ 그 다음에 ${\displaystyle a+c<b+d}$ ;^[30]
• 만약에 ${\displaystyle a<b}$ 그리고 ${\displaystyle c>0}$ 그 다음에 ${\displaystyle ac<bc}$ ;
• 만약에 ${\displaystyle a<b}$ 그리고 ${\displaystyle c<0}$ 그 다음에 ${\displaystyle bc<ac}$ .

부등식을 반대로 하면, ${\displaystyle <}$ 그리고 ${\displaystyle >}$ 예를 들어^[31]로 바꿀 수 있다.

• ${\displaystyle a<b}$ 와 동등하다 ${\displaystyle b>a}$

치환

치환은 새 표현식을 만들기 위해 표현식의 용어를 바꾸는 것이다. a a*5 표현식에서 3을 대입하면 15 를 의미하는 새로운 표현식 3*5 가 된다. 진술의 조건을 치환하면 새로운 진술이 된다. 원래의 명제가 항의 값과 관계없이 참이면 치환에 의해 생성된 명제도 참이다. 따라서 정의는 상징적 용어로 만들어지고 치환을 통해 해석될 수 있다.

대수 방정식 풀기

선형 방정식은 플로팅될 때 직선을 설명하기 때문에 이른바 선형 방정식이다. 풀기 가장 간단한 방정식은 변수가 하나만 있는 선형 방정식이다. 지수가 없는 상수와 단일 변수만 포함한다. 예를 들어 다음을 고려하십시오.

단어 문제: 아이의 나이를 두 배로 늘리고 4를 더하면 결과는 12이다. 아이는 몇 살입니까?

등가 방정식: ${\displaystyle 2x+4=12}$ 여기서 x 는 어린이의 나이를 나타낸다.

이러한 종류의 방정식을 풀기 위해 방정식의 한 쪽에서 변수를 분리하기 위해 방정식의 양쪽에 같은 수를 더하거나 빼거나 곱하거나 나누는 기술이다. 변수가 분리되면 방정식의 다른 쪽은 변수 값이다.^[32] 이 문제와 해결 방법은 다음과 같다.

1. 풀이 방정식:	${\displaystyle 2x+4=12}$
2. 양쪽에서 4를 뺀다.	${\displaystyle 2x+4-4=12-4}$
3. 이렇게 하면 다음이 간소화된다.	${\displaystyle 2x=8}$
4. 양변을 2로 나눈다.	${\displaystyle {\frac {2x}{2}}={\frac {8}{2}}}$
5. 이것은 답을 단순화한다.	${\displaystyle x=4}$

즉, 아이는 4 살이다.

두 개의 변수가 있는 선형 방정식

두 개의 선형 방정식이 교차하는 지점에서 고유한 솔루션을 사용하여 푼다.

두 개의 변수가 있는 선형 방정식에는 많은(즉, 무한한 수) 해가 있다.^[33] 예를 들어:

말의 문제: 아버지는 아들보다 22살이 많다. 그들을 몇 살 이니?

등가 방정식: ${\displaystyle y=x+22}$ 여기서 y 는 아버지의 나이이고 x 는 아들의 나이이다.

그것은 스스로 해결할 수 없다. 아들의 나이가 알려지면 더 이상 두 개의 미지수(변수)가 없을 것이다. 그러면 문제는 위에서 설명한 대로 풀 수 있는 변수가 하나만 있는 선형 방정식이 된다.

두 개의 변수(알 수 없음)가 있는 선형 방정식을 풀려면 두 개의 관련 방정식이 필요하다. 예를 들어 다음과 같은 사실도 밝혀진 경우:

단어의 문제

10년 후에는 아버지의 나이가 아들의 두 배이다.

등가 방정식

${\displaystyle {\begin{aligned}y+10&=2\times (x+10)\\y&=2\times (x+10)-10\\y&=2x+20-10\\y&=2x+10\end{aligned}}}$

이제 두 개의 관련된 선형 방정식이 있다. 각각은 두 개의 미지수를 가지고 있다. 이를 통해 하나의 변수를 다른 변수에서 빼서 선형 방정식을 생성할 수 있다(제거 방법이라고 함).^[34]

${\displaystyle {\begin{cases}y=x+22&\\y=2x+10&\end{cases}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=x-12&&\\12&=x&&\\x&=12&&\end{aligned}}}$

이차 방정식

이차 방정식은 지수가 2인 항을 포함하는 방정식이다. 예를 들어, ${\displaystyle x^{2}}$,^[35] 지수가 더 높은 항은 없다. 이름은 정사각형을 의미하는 라틴어 quadrus에서 파생된다.^[36] 일반적으로 이차 방정식은 다음과 같이 표현할 수 있다. ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$,^[37] 여기서 a는 0이 아니다(0이면 방정식은 2차가 아니라 선형이 된다). 이 때문에 이차 방정식에는 다음 항이 포함되어야 한다. ${\displaystyle ax^{2}}$, 이는 2차 항으로 알려져 있다. 따라서 ${\displaystyle a\neq 0}$, 그래서 우리는 방정식을 a 나누고 방정식을 표준 형식으로 재정렬할 수 있다.

${\displaystyle x^{2}+px+q=0}$

어디 ${\displaystyle p={\frac {b}{a}}}$ 그리고 ${\displaystyle q={\frac {c}{a}}}$ . 이것을 풀기 위한 공식은 다음과 같다.

${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},}$

지수 및 로그 방정식

지수 방정식은 다음과 같은 형식을 갖는 방정식이다. ${\displaystyle a^{x}=b}$ (${\displaystyle a>0}$),^[38] 풀이는 다음과 같다.

${\displaystyle X=\log _{a}b={\frac {\ln b}{\ln a}}}$

${\displaystyle b>0}$일 때는 그러하다. 기본 대수 기술은 솔루션에 도달하기 전에 위의 방식으로 주어진 방정식을 다시 작성하는 데 사용된다. 예를 들어

${\displaystyle 3\cdot 2^{x-1}+1=10}$

그런 다음 방정식의 양변에서 1을 빼고 양변을 3으로 나누면 다음을 얻는다.

${\displaystyle 2^{x-1}=3}$

어떻게

${\displaystyle x-1=\log _{2}3}$

${\displaystyle x=\log _{2}3+1.}$

같이 보기

• 이항 연산
• 가우스 소거법
• 수학 교육
• 수직선 (수학)
• 다항식