초평면 (수학)

수학에서 초평면(超平面, 영어: hyperplane)은 3차원 공간 속의 평면을 일반화하여 얻는 개념이다.

정의

벡터 초평면

체 ${\displaystyle K}$ 위의 벡터 공간 ${\displaystyle V}$의 부분 벡터 공간 ${\displaystyle H\subseteq V}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 ${\displaystyle H}$를 ${\displaystyle V}$의 벡터 초평면(vector超平面, 영어: vector hyperplane)이라고 한다.

• 몫벡터 공간 ${\displaystyle V/H}$의 차원은 1이다.
• 극대 진부분 벡터 공간이다. 즉, 다음 두 조건을 만족시킨다.^{[1]:109, Theorem 19}
  • ${\displaystyle H\neq V}$
  • 임의의 부분 벡터 공간 ${\displaystyle W\subseteq V}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle H\subseteq W}$라면, ${\displaystyle W=H}$이거나 ${\displaystyle W=V}$이다.
• 다음 조건을 만족시키는 쌍대 공간 원소 ${\displaystyle f\in V^{*}}$가 존재한다.^{[1]:109, Theorem 19}
  • ${\displaystyle f\neq 0}$
  • ${\displaystyle \ker f=H}$ (여기서 ${\displaystyle \ker }$는 핵이다.)

증명:

우선 ${\displaystyle H}$가 ${\displaystyle V}$의 극대 진부분 벡터 공간라고 가정하자. 임의의 ${\displaystyle v\in V\setminus H}$를 고정하자. 그렇다면 다음과 같은 직합 분해가 성립한다.

${\displaystyle V=H\oplus \operatorname {Span} \{v\}}$

따라서, 다음 두 조건을 만족시키는 유일한 쌍대 공간 원소 ${\displaystyle f\in V^{*}}$를 정의할 수 있다.

${\displaystyle f|_{H}=0}$

${\displaystyle f(v)=1}$

이 경우 ${\displaystyle f(v)=1}$이므로 ${\displaystyle f\neq 0}$이며, 또한 ${\displaystyle \ker f=H}$이다.

반대로 ${\displaystyle f\neq 0}$와 ${\displaystyle \ker f=H}$를 만족시키는 쌍대 공간 원소 ${\displaystyle f\in V^{*}}$가 존재한다고 가정하자. 그렇다면 ${\displaystyle f\neq 0}$이므로 ${\displaystyle H\neq V}$이다. 임의의 ${\displaystyle v\in V\setminus H}$를 고정하자. 그렇다면, 임의의 ${\displaystyle u\in V}$에 대하여,

${\displaystyle u-{\frac {f(u)}{f(v)}}v\in H}$

이므로

${\displaystyle u\in \operatorname {Span} (H\cup \{v\})}$

이다. 따라서

${\displaystyle \operatorname {Span} (H\cup \{v\})=V}$

이며, ${\displaystyle H}$는 ${\displaystyle V}$의 극대 진부분 벡터 공간이다.

아핀 초평면

체 ${\displaystyle K}$ 위의 아핀 공간 ${\displaystyle A}$의 부분 아핀 공간 ${\displaystyle H\subseteq A}$가 주어졌다고 하자. 만약 ${\displaystyle H}$ 위의 평행 이동들의 벡터 공간 ${\displaystyle \operatorname {V} (H)}$이 ${\displaystyle V}$ 위의 평행 이동들의 벡터 공간 ${\displaystyle \operatorname {V} (A)}$의 벡터 초평면이라면, ${\displaystyle H}$를 ${\displaystyle A}$의 아핀 초평면(affine超平面, 영어: affine hyperplane)이라고 한다.

사영 초평면

체 ${\displaystyle K}$ 위의 벡터 공간 ${\displaystyle V}$으로부터 유도되는 사영 공간 ${\displaystyle \operatorname {P} (V)}$의 사영 초평면(射影超平面, 영어: projective hyperplane)은 벡터 초평면 ${\displaystyle H\subseteq V}$으로부터 유도되는 부분 사영 공간 ${\displaystyle \operatorname {P} (H)\subseteq \operatorname {P} (V)}$이다.

성질

체 ${\displaystyle K}$ 위의 유한 차원 벡터 공간 ${\displaystyle V}$의 부분 벡터 공간 ${\displaystyle H\subseteq V}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle H}$는 벡터 초평면이다.
• ${\displaystyle \dim H=\dim V-1}$

같이 보기

• 초곡면
• 결정 경계