축소 판정법

대수학에서, 축소 판정법(縮小判定法, 영어: reduction criterion)은 정수 계수 다항식이 더 낮은 차수의 두 정수 계수 다항식의 곱으로 나타낼 수 없을 충분 조건을 제시하는 정리이다.

정의

두 정역 ${\displaystyle R,S}$ 및 환 준동형 ${\displaystyle \phi \colon R\to S}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle \phi }$는 자연스럽게 다항식환 사이의 환 준동형

${\displaystyle {\widetilde {\phi }}\colon R[x]\to S[x]}$

${\displaystyle {\widetilde {\phi }}\colon r\mapsto \phi (r)\qquad \forall r\in R}$

${\displaystyle {\widetilde {\phi }}\colon x\mapsto x}$

로 확장될 수 있다. 이제, ${\displaystyle R,S}$의 분수체를 각각 ${\displaystyle \operatorname {Frac} R}$와 ${\displaystyle \operatorname {Frac} S}$라고 하고, 다항식 ${\displaystyle p\in R[x]}$가 다음을 만족시킨다고 하자.

• ${\displaystyle \deg {\widetilde {\phi }}(p)=\deg p}$
• ${\displaystyle {\widetilde {\phi }}(p(x))}$는 ${\displaystyle (\operatorname {Frac} S)[x]}$의 기약 다항식이다.

축소 판정법에 따르면, ${\displaystyle p(x)}$는 더 낮은 차수의 두 ${\displaystyle R}$ 계수의 다항식의 곱으로 나타낼 수 없다. 만약 ${\displaystyle R}$가 유일 인수 분해 정역일 경우, ${\displaystyle p(x)}$는 ${\displaystyle (\operatorname {Frac} R)[x]}$의 기약 다항식이다.^{[1]:185 §IV.3 Theorem 3.2}

증명

귀류법을 사용하여,

${\displaystyle p(x)=q(x)r(x)}$

${\displaystyle \deg q,\deg r\geq 1}$

인 ${\displaystyle q,r\in R[x]}$가 존재한다고 가정하자. 그렇다면,

${\displaystyle {\widetilde {\phi }}(p(x))={\widetilde {\phi }}(q(x)){\widetilde {\phi }}(r(x))}$

이다. 또한,

${\displaystyle \deg q+\deg r=\deg p=\deg {\widetilde {\phi }}(p)=\deg {\widetilde {\phi }}(q)+\deg {\widetilde {\phi }}(r)}$

${\displaystyle \deg {\widetilde {\phi }}(q)\leq \deg q}$

${\displaystyle \deg {\widetilde {\phi }}(r)\leq \deg r}$

이므로,

${\displaystyle \deg {\widetilde {\phi }}(q)=\deg q\geq 1}$

${\displaystyle \deg {\widetilde {\phi }}(r)=\deg r\geq 1}$

이다. 이는 ${\displaystyle {\widetilde {\phi }}(p)\in (\operatorname {Frac} S)[x]}$가 기약 다항식인 데 모순이다.