카르탕-디외도네 정리

기하학 및 선형대수학에서, 카르탕-디외도네 정리(Cartan–Dieudonné定理, 영어: Cartan–Dieudonné theorem)는 직교군의 원소를 반사들의 합성으로 나타내는 정리다.

정의

카르탕-디외도네 정리에 따르면, (임의의 표수의) 체 ${\displaystyle K}$에 대한 유한 ${\displaystyle n}$차원 벡터 공간 ${\displaystyle V}$ 위의 비퇴화 이차 형식

${\displaystyle Q\colon V\to K}$

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{[1]:135, Theorem 14.16}

• 직교군 ${\displaystyle \operatorname {O} (V,Q)}$의 원소들은 반사들의 합성으로 나타낼 수 있다. 즉, 임의의 ${\displaystyle M\in \operatorname {O} (V,Q)}$에 대하여,

  ${\displaystyle Q(v_{i})\neq 0\qquad (i=1,\dots ,n)}$

  ${\displaystyle M=R_{v_{1}}\circ \cdots R_{v_{r}}}$

  인 유한 개의 벡터 ${\displaystyle \{v_{1},\dots ,v_{r}\}\subseteq V}$들이 존재한다. 여기서, 비등방 벡터

  ${\displaystyle v\in V}$

  ${\displaystyle Q(v)\neq 0}$

  에 대한 반사는 다음과 같다.

  ${\displaystyle R_{v}\colon V\to V}$

  ${\displaystyle R_{v}\colon u\mapsto u-{\frac {Q(u+v)-Q(u)-Q(v)}{Q(v)}}v}$

• ${\displaystyle Q}$는 크기 2의 유한체 ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$에 대한 4차원 벡터 공간 ${\displaystyle (\mathbb {F} _{2})^{4}}$ 위의, 비트 지표가 2인 비퇴화 이차 형식 ${\displaystyle x_{1}x_{2}+x_{3}x_{4}}$과 동치가 아니다. 즉,
  • ${\displaystyle K\not \cong \mathbb {F} _{2}}$이거나,
  • ${\displaystyle K\cong \mathbb {F} _{2}}$이며 ${\displaystyle n\neq 4}$이거나,
  • ${\displaystyle K\cong \mathbb {F} _{2}}$이며 ${\displaystyle n=4}$이며 ${\displaystyle Q}$의 비트 지표는 2가 아니다.

즉, 이차 형식의 동치 아래 유일한 반례 하나를 제외하면, 직교군의 원소는 항상 일련의 반사들의 합성으로 나타낼 수 있다. 유일한 반례의 표수는 2이다. 따라서, 표수가 2가 아닌 경우, 반례는 존재하지 않는다. 표수가 2가 아닌 경우, 다음 사실들이 추가로 성립한다.

• ${\displaystyle \operatorname {O} (V,Q)}$의 모든 원소들은 ${\displaystyle n}$개 이하의 반사들의 합성이다.^{[1]:48, Theorem 6.6[2]:18, Theorem 7.1}
• ${\displaystyle M\in \operatorname {O} (V,Q)}$을 반사들의 합성으로 나타내었을 때, 반사들의 수는 항상 ${\displaystyle n-\dim \ker(1-M)}$ 이상이다.^{[2]:19, Corollary 7.4(1)} 특히, ${\displaystyle M}$의 고정점이 ${\displaystyle 0\in V}$밖에 없다면, ${\displaystyle M}$은 ${\displaystyle n}$개 미만의 반사들의 합성이 아니다.^{[2]:19, Corollary 7.4(2)}
• ${\displaystyle M\in \operatorname {O} (V,Q)}$이 ${\displaystyle n}$개의 반사의 합성이라고 하자. 그렇다면, 임의의 반사 ${\displaystyle R}$에 대하여,

  ${\displaystyle M=R\circ R_{2}\circ \cdots \circ R_{n}=R_{1}'\circ \cdots R_{n-1}'\circ R}$

  인 반사 ${\displaystyle R_{2},\dots ,R_{n}}$ 및 ${\displaystyle R_{1}',\dots ,R_{n-1}'}$들이 존재한다. 즉, 정확히 ${\displaystyle n}$개의 반사의 합성의 경우, 처음 또는 마지막 반사를 임의로 고를 수 있다.^{[2]:18, Corollary 7.2}

유클리드 공간

유클리드 공간 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$의 (표준적인 이차 형식 ${\displaystyle x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}$에 대한) 직교군 ${\displaystyle \operatorname {O} (n)}$을 생각하자. 카르탕-디외도네 정리에 따라, ${\displaystyle \operatorname {O} (n)}$의 원소들은 (원점을 고정하는) ${\displaystyle n}$개 이하의 반사들의 합성이다. ${\displaystyle \operatorname {O} (n)}$의 원소는 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$의 등거리 변환을 이루며, 원점을 고정한다. 반대로, 고정점을 갖는 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$의 등거리 변환은 그 고정점을 원점으로 하는 정규 직교 기저를 잡아 ${\displaystyle \operatorname {O} (n)}$의 원소로 여길 수 있다. 따라서, ${\displaystyle x}$를 고정점으로 하는 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$의 등거리 변환들은 (${\displaystyle x}$를 고정하는) ${\displaystyle n}$개 이하의 반사들의 합성이다.

유클리드 공간 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$의 유클리드 군

${\displaystyle \operatorname {IO} (n)=\mathbb {R} ^{n}\rtimes \operatorname {O} (n)}$

을 생각하자. 이는 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$의 임의의 등거리 변환들로 구성된다. 임의의 등거리 변환에 적절한 평행 이동을 합성하여 원점의 상을 원점으로 돌려 보내면, 원점을 고정하는 등거리 변환을 얻는다. 즉, ${\displaystyle \operatorname {IO} (n)}$의 원소는 ${\displaystyle \operatorname {O} (n)}$의 원소와 평행 이동의 합성이다. 그런데 ${\displaystyle \operatorname {O} (n)}$의 원소는 원점을 고정하는 ${\displaystyle n}$개 이하의 반사들의 합성이며, 임의의 평행 이동은 항등 함수이거나, 어떤 두 서로 다른 반사의 합성이다. 또한, ${\displaystyle n}$개의 반사의 합성의 경우, 처음 오는 반사는 평행 이동을 나타내는 반사와 만나 없어지도록 고를 수 있다. 따라서, ${\displaystyle \operatorname {IO} (n)}$의 원소들은 ${\displaystyle n+1}$개 이하의 반사들의 합성이다.

역사

19세기 초 엘리 카르탕이 실수체와 복소수체에 대하여 증명하였다.^{[3]:235, §8.2} 카르탕의 증명은 그의 1938년 저서^[4][5]에 실려 있다. 이후 장 디외도네가 임의의 체에 대하여 증명하였다.^{[6][3]:235, §8.2}