카르탕 부분 대수

리 대수 이론에서, 카르탕 부분 대수(Cartan部分代數, 영어: Cartan subalgebra)는 리 대수의 최대 아벨 부분 대수의 일종이다.

정의

${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$가 리 대수라고 하자. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$의 카르탕 부분 대수는 다음 성질을 만족하는 리 부분 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}}$이다.

• 만약 ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$이고, ${\displaystyle [X,{\mathfrak {h}}]\subset {\mathfrak {h}}}$라면 ${\displaystyle X\in {\mathfrak {h}}}$이다.
• ${\displaystyle \underbrace {[{\mathfrak {g}},[{\mathfrak {g}},[\dotsb ,[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}} _{n}]\dotsb ]]]=0}$인 정수 ${\displaystyle n}$이 존재한다.

성질

리 대수의 체가 표수 0이고, 대수적으로 닫혀 있다면, 적어도 하나의 카르탕 부분 대수가 존재하며, 또한 모든 카르탕 부분 대수들은 리 대수의 자기 동형에 의하여 서로 동형이다. 따라서 이 경우 카르탕 부분 대수는 사실상 유일하다.

역사

엘리 카르탕이 박사 학위 논문에서 정의하였다.^[1]