카피차-디랙 효과

카피차-디랙 효과(Kapitsa–Dirac effect)는 정상파 형태의 빛에 의한 물질의 회절로 구성된 양자역학적 효과이다.^[1][2][3] 이는 주기적인 격자에 의한 빛의 회절과 완벽하게 유사하지만, 물질과 빛의 역할이 뒤바뀐 것이다.

이 효과는 1933년 폴 디랙과 표트르 카피차에 의해 빛의 정상파에 의한 전자 회절로 처음 예측되었다.^[1] 이 효과는 1924년 루이 드 브로이 가설에서 언급된 물질의 파동-입자 이중성에 기반한다. 빛의 정상파에 의한 물질파 회절은 중성 원자 빔을 사용하여 처음 관찰되었다. 이후, 원래 제안된 카피차-디랙 효과는 2001년에 관찰되었다.^[2]

개요

1924년, 프랑스 물리학자 루이 드 브로이는 물질이 다음과 같이 파동과 같은 특성을 나타낸다고 가정했다.

${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{p}},}$

여기서 h는 플랑크 상수이고, p는 입자의 운동량이며, λ는 물질파의 파장이다. 여기서 물질 입자들 사이에 간섭 효과가 발생한다는 결론이 나온다. 이는 카피차-디랙 효과의 기초를 형성한다. 즉, 빛의 정상파에 의한 물질파의 회절이다.

일관된 빛의 빔은 주기적인 회절격자를 통과하면 여러 개의 피크로 회절된다. 물질파 이중성으로 인해, 물질도 주기적인 회절격자에 의해 회절될 수 있다. 이러한 회절격자는 물리적 물질로 만들어질 수 있지만,^[4] 빛-물질 상호작용으로 인해 역전파하는 한 쌍의 빛 빔에 의해 형성된 빛의 정상파로도 생성될 수 있다. 여기서 빛의 정상파는 물질파를 회절시키는 공간적으로 주기적인 격자를 형성하며, 이제 이를 설명할 것이다.

원래 아이디어^[1]는 두 개의 역전파하는 빛 빔의 중첩에 의해 형성된 정상파에 의해 전자 빔이 회절될 수 있다고 제안한다. 회절은 빛-물질 상호작용에 의해 발생한다. 이 경우, 각 전자는 한 빔에서 광자를 흡수하고, 다른 빔으로 반대 방향으로 이동하는 광자를 다시 방출한다. 이는 전자에 의한 유도된 콤프턴 산란을 설명하는데, 여기서 재방출은 두 번째 빛 빔의 존재에 의해 유도되기 때문이다. 유도된 콤프턴 산란의 특성으로 인해, 재방출된 광자는 흡수된 광자와 동일한 주파수와 반대 방향을 가져야 한다. 결과적으로, 전자에 전달되는 운동량의 크기는 ${\displaystyle 2\hbar k}$여야 하며, 여기서 ${\displaystyle k}$는 정상파 패턴을 형성하는 빛의 파동벡터이다.

원래 제안은 전자에 초점을 맞췄지만, 위 분석은 빛과 상호작용하는 다른 유형의 물질파로 일반화될 수 있다. 예를 들어, 차가운 중성 원자도 카피차-디랙 효과를 경험할 수 있다. 실제로, 카피차-디랙 효과의 첫 관찰 중 하나는 차가운 나트륨 원자빔을 사용하는 것이었다. 오늘날, 카피차-디랙 효과는 빛의 정상파에 의해 형성되는 광학 격자의 깊이를 교정하는 표준 도구이다.

회절의 다른 체제

전자기파든 물질파든 주기적인 격자에서의 회절은 크게 두 가지 체제로 나눌 수 있다. 바로 브래그 체제와 라만-나트 체제이다. 브래그 체제에서는 본질적으로 하나의 회절 피크만 생성된다. 라만-나트 체제에서는 여러 회절 피크를 관찰할 수 있다.^[4]

물질 격자에서의 빛 회절이라는 익숙한 예로 돌아가는 것이 도움이 된다. 이 경우, 두꺼운 격자에서는 브래그 체제가, 얇은 격자에서는 라만-나트 체제가 얻어진다. 동일한 용어를 카피차-디랙 효과에도 적용할 수 있다. 여기서 격자의 "두께" 개념은 물질파가 빛장 안에 머무는 시간으로 전환될 수 있다.

여기서 라만-나트 체제의 예를 제시한다. 여기서 물질은 입자의 소위 반동 주파수에 비해 짧은 시간 동안 정상파에 머문다. 이 근사는 상호작용 시간이 입자의 반동 주파수의 역수보다 작을 때 유효하다. 즉, ${\displaystyle \tau \ll 1/\omega _{\text{rec}}}$이며, 여기서 ${\displaystyle \omega _{\text{rec}}={\frac {\hbar k^{2}}{2m}}}$이다.

전자기파 (일반적으로 빛)의 정상파에 입사하는 일관된 입자 빔은 다음 방정식에 따라 회절된다.

${\displaystyle n\lambda =2d\sin \Theta ,}$

여기서 n은 정수이고, λ는 입사 입자의 드 브로이 파장이며, d는 격자 간격이고, θ는 입사각이다.

라만-나트 체제에서의 회절 패턴

여기서는 라만-나트 체제에서 카피차-디랙 효과의 회절 패턴을 분석한다.^[5] 빛의 정상파에서 상호작용하는 물질파의 경우, 빛-물질 상호작용의 효과는 퍼텐셜 에너지로 매개변수화될 수 있다.

${\displaystyle U(z,t)=U_{0}f(t)\sin ^{2}(kz),}$

여기서 ${\displaystyle U_{0}}$는 퍼텐셜 에너지의 세기이고, ${\displaystyle f(t)}$는 적용된 정상파의 펄스 모양을 나타낸다. 예를 들어, 광학 격자에 갇힌 극저온 원자의 경우, AC 슈타르크 효과로 인해 ${\displaystyle U_{0}={\frac {\hbar \omega _{\text{R}}^{2}}{\delta }}}$이다.

이전에 설명했듯이, 라만-나트 체제는 지속 시간이 짧을 때 도달한다. 이 경우, 운동 에너지는 무시될 수 있으며 결과적인 슈뢰딩거 방정식은 크게 단순화된다. 주어진 초기 상태 ${\displaystyle \left|\psi _{0}\right\rangle }$에 대해, 라만-나트 체제 내에서의 시간 진화는 다음과 같다.

${\displaystyle \left|\psi \right\rangle =\left|\psi _{0}\right\rangle e^{-{\frac {i}{\hbar }}\int dt'U(z,t')}=\left|\psi _{0}\right\rangle e^{-{\frac {i}{2\delta }}\omega _{\text{R}}^{2}\tau }e^{{\frac {i}{2\delta }}\omega _{\text{R}}^{2}\tau \cos(2kz)},}$ 여기서 ${\textstyle \tau =\int dt'f^{2}(t')}$이고 적분은 상호작용의 지속 시간에 걸쳐 이루어진다. 야코비-앙거 전개를 일종의 베셀 함수에 적용하면, ${\textstyle e^{i\alpha \cos(\beta )}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }i^{n}J_{n}(\alpha )e^{in\beta }}$가 되며, 위 파동 함수는 다음과 같이 된다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|\psi \right\rangle &=\left|\psi _{0}\right\rangle e^{-{\frac {i}{2\delta }}\omega _{\text{R}}^{2}\tau }\sum _{n=-\infty }^{\infty }i^{n}J_{n}\left({\frac {\omega _{\text{R}}^{2}}{2\delta }}\tau \right)e^{i2nkz}\\&=e^{-{\frac {i}{2\delta }}\omega _{\text{R}}^{2}\tau }\sum _{n=-\infty }^{\infty }i^{n}J_{n}\left({\frac {\omega _{\text{R}}^{2}}{2\delta }}\tau \right)\left|g,2n\hbar k\right\rangle \end{aligned}}}$

두 번째 줄에서 ${\displaystyle |\psi _{0}\rangle }$는 ${\displaystyle |g,0\rangle }$로 취해졌다. 이제 ${\displaystyle 2n\hbar k}$ 운동량 상태가 ${\displaystyle P_{n}=J_{n}^{2}(\theta )}$ 확률로 채워지는 것을 볼 수 있으며, 여기서 ${\displaystyle n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots }$이고 펄스 면적(상호작용의 지속 시간 및 진폭) ${\textstyle \theta ={\frac {\omega _{\text{R}}^{2}}{2\delta }}\tau =\omega _{\text{R}}^{(2)}\tau }$이다. 따라서 회절된 입자의 횡방향 RMS 운동량은 펄스 면적에 선형적으로 비례한다. $${\displaystyle p_{\text{rms}}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(n\hbar k)^{2}P_{n}={\sqrt {2}}\theta \hbar k.}$$

구현

1960년 레이저의 발명으로 코히어런트한 빛의 생산이 가능해졌고, 이에 따라 효과를 실험적으로 관찰하는 데 필요한 빛의 정상파를 구성할 수 있게 되었다. 나트륨 원자의 카피차-디랙 산란은 1985년 매사추세츠 공과대학교 D. E. 프리차드 그룹에 의해 거의 공진하는 정상파 레이저 장에 의해 실험적으로 시연되었다.^[6] 반동 미만 횡방향 운동량을 가진 초음속 원자빔이 거의 공진하는 정상파를 통과했고, 최대 10ħk의 회절이 관찰되었다. 강력한 광학 정상파에 의한 전자의 산란은 1988년 뉴저지 AT&T 벨 연구소의 M. 바슈칸스키 그룹에 의해 실험적으로 구현되었다.^[7]

카피차-디랙 효과는 광학 격자의 깊이를 교정하는 데 일상적으로 사용된다.