켤레 복소수

수학에서 켤레 복소수(-複素數, 영어: complex conjugate) 또는 공액 복소수(共軶複素數) 또는 복소 켤레 또는 공액 켤레는 복소수의 허수부에 덧셈 역원을 취하여 얻는 복소수이다. 다시 말해, 편각에 덧셈 역원을 취하여 얻는 복소수이다. 복소평면 위에서, 서로 켤레인 두 복소수는 x축에 의하여 대칭이다. 복소수 ${\displaystyle z}$의 켤레 복소수의 기호는 ${\displaystyle {\bar {z}}}$ 또는 ${\displaystyle z^{*}}$이다.

복소평면에서의 복소수 z와 그 켤레복소수 —z

정의

복소수의 켤레 복소수는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle {\overline {x+iy}}=x-iy\qquad x,y\in \mathbb {R} }$

극 형식으로 쓰면 다음과 같다.

${\displaystyle {\overline {re^{i\theta }}}=re^{-i\theta }\qquad r,\theta \in \mathbb {R} ,\;r\geq 0}$

켤레 복소수의 기호 ${\displaystyle {\bar {z}}}$는 켤레 전치의 기호 ${\displaystyle A^{*}}$와의 혼동을 피하려고 할 때 선호된다. 켤레 복소수의 또 하나의 기호 ${\displaystyle z^{*}}$는 물리학에서 자주 쓰이며, 이 경우 켤레 전치의 기호에는 흔히 ${\displaystyle A^{\dagger }}$를 사용한다.

성질

항등식

켤레 복소수에 대하여, 다음과 같은 항등식들이 성립한다. 임의의 복소수 ${\displaystyle z,w}$에 대하여,

• ${\displaystyle \operatorname {Re} z=(z+{\bar {z}})/2}$
• ${\displaystyle \operatorname {Im} z=(z-{\bar {z}})/(2i)}$
• ${\displaystyle |z|={\sqrt {z{\bar {z}}}}}$
• ${\displaystyle \operatorname {arg} z=(1/(2i))\ln {\frac {z}{\bar {z}}}\qquad z\neq 0}$
• (덧셈 군 자기 준동형) ${\displaystyle {\overline {z+w}}={\bar {z}}+{\bar {w}}}$
• (덧셈 군 자기 준동형) ${\displaystyle {\overline {z-w}}={\bar {z}}-{\bar {w}}}$
• (체 자기 동형) ${\displaystyle {\overline {zw}}={\bar {z}}{\bar {w}}}$
• (체 자기 동형) ${\displaystyle {\overline {(z/w)}}={\bar {z}}/{\bar {w}}}$
• (${\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {R} }$ 자기 동형) ${\displaystyle {\bar {z}}=z\iff z\in \mathbb {R} }$
• (대합) ${\displaystyle {\bar {\bar {z}}}=z}$
• (노름 자기 동형) ${\displaystyle |{\bar {z}}|=|z|}$
• ${\displaystyle \operatorname {arg} {\bar {z}}=-\operatorname {arg} z}$
• ${\displaystyle \operatorname {Re} {\bar {z}}=\operatorname {Re} z}$
• ${\displaystyle \operatorname {Im} {\bar {z}}=-\operatorname {Im} z}$

켤레근 정리

정칙 함수 ${\displaystyle f}$가 만약 ${\displaystyle f(\mathbb {R} )\subseteq \mathbb {R} }$를 만족시킨다면, 임의의 복소수 ${\displaystyle z}$에 대하여, ${\displaystyle {\overline {f(z)}}=f({\bar {z}})}$가 성립한다. 특히, ${\displaystyle f(x)\in \mathbb {R} [x]}$인 경우, 만약 ${\displaystyle f(z)=0}$이라면 ${\displaystyle f({\bar {z}})=0}$이다. 즉, 실수 계수 다항식의 허수 영점은 항상 켤레 복소수끼리 짝을 지어 나타난다. 이를 켤레근 정리(-根定理, 영어: complex conjugate root theorem)라고 한다.

체론적 성질

켤레 복소수 함수는 갈루아 군 ${\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {C} /\mathbb {R} )}$의 유일한 비자명 원소이다.

관련 개념

행렬의 경우

행렬 ${\displaystyle A}$의 경우, 그 원소별 켤레 복소수를

${\displaystyle {\bar {A}}}$

로 쓰며, 다음과 같이 정의할 수 있다.

${\displaystyle ({\bar {A}})_{ij}={\overline {A_{ij}}}}$

또한, 켤레 전치는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle A^{*}=({\bar {A}})^{\operatorname {T} }={\overline {A^{\operatorname {T} }}}}$

즉, 다음과 같다.

${\displaystyle (A^{*})_{ij}={\overline {A_{ji}}}}$

외부 링크

• “Complex conjugate”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Complex conjugate”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• “Complex conjugate”. 《PlanetMath》 (영어).