코시-비네 공식

선형대수학에서 코시-비네 공식(영어: Cauchy-Binet formula)은 정사각 행렬이 아닐 수 있는 두 행렬의 곱의 행렬식을 구하는 공식이다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 음이 아닌 정수 ${\displaystyle m,n,p,k}$. 단, ${\displaystyle m,n,p\geq k}$
• 가환환 ${\displaystyle R}$
• ${\displaystyle R}$ 위의 ${\displaystyle m\times n}$ 행렬 ${\displaystyle M}$ 및 ${\displaystyle n\times p}$ 행렬 ${\displaystyle N}$
• 행의 집합 ${\displaystyle I\subseteq \{1,\dots ,m\}}$ 및 열의 집합 ${\displaystyle J\subseteq \{1,\dots ,p\}}$. 단, ${\displaystyle |I|=|J|=k}$

그렇다면, 다음이 성립한다.

${\displaystyle \det((MN)_{I,J})=\sum _{K\subseteq \{1,\dots ,n\}}^{|K|=k}\det(M_{I,K})\det(N_{K,J})}$

특히, ${\displaystyle m=p=k}$인 경우, 다음이 성립하며, 이를 코시-비네 공식이라고 한다.

${\displaystyle \det(MN)=\sum _{K\subseteq \{1,\dots ,n\}}^{|K|=m}\det(M_{\{1,\dots ,m\},K})\det(N_{K,\{1,\dots ,m\}})}$

특수한 경우

m = p = k = 2

${\displaystyle m=p=k=2}$의 경우는 다음과 같으며, 이를 비네-코시 항등식(영어: Binet-Cauchy identity)이라고 한다.

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}c_{i}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}d_{i}\right)-\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}d_{i}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}c_{i}\right)=\sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})(c_{i}d_{j}-c_{j}d_{i})}$

${\displaystyle a_{i},b_{i},c_{i},d_{i}\in R}$

m = n = p = k

${\displaystyle m=n=p=k}$의 경우는 두 정사각 행렬의 곱의 행렬식의 공식이다.

${\displaystyle \det(MN)=\det(M)\det(N)}$

k = 1

${\displaystyle k=1}$의 경우는 행렬 곱셈의 공식이다.

${\displaystyle (MN)_{ij}=\sum _{k=1}^{n}M_{ik}N_{kj}}$

n < k

전제 조건을 어겨 ${\displaystyle n<k}$라고 하면, 코시-비네 공식이 성립하지 않으며, 대신 다음이 성립한다.

${\displaystyle \det((MN)_{I,J})\in R\setminus R^{\times }}$

그러나, ${\displaystyle R}$가 나눗셈환인 경우 코시-비네 공식은 이 경우에도 성립하며, 이는 다음과 같다.

${\displaystyle \det((MN)_{I,J})=0}$

역사

오귀스탱 루이 코시와 자크 필리프 마리 비네(프랑스어: Jacques Philippe Marie Binet)의 이름을 땄다.

외부 링크

• “Cauchy Binet formula” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Binet-Cauchy identity” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
• “Cauchy-Binet formula” (영어). 《PlanetMath》.
• “Cauchy-Binet formula” (영어). 《ProofWiki》.
• “Binet-Cauchy identity” (영어). 《ProofWiki》.