코시-코발렙스카야 정리

수학에서, 코시-코발렙스카야 정리(Cauchy-Ковалевская定理, 영어: Cauchy–Kovalevskaya theorem)는 해석적 편미분 방정식의 초기 조건 문제의 해의 존재에 대한 정리이다.

정의

${\displaystyle K}$가 실수체 또는 복소수체라고 하고, ${\displaystyle V}$와 ${\displaystyle W}$가 ${\displaystyle K}$에 대한 벡터 공간이라고 하자. ${\displaystyle U\subset V\times W}$가 0의 근방이라고 하고, ${\displaystyle A_{1},\dots ,A_{n-1}\colon U\to \operatorname {End} (V)}$가 해석함수라고 하자. 또한, ${\displaystyle b\colon U\to V}$가 해석함수라고 하자.

그렇다면, 미지의 함수 ${\displaystyle f\colon W\to V}$에 대한 다음과 같은 초기 조건 문제는 항상 원점의 근방에서 해를 갖는다.

${\displaystyle \partial _{x_{n}}f=A_{1}(x,f)\partial _{x_{1}}f+\cdots +A_{n-1}(x,f)\partial _{x_{n-1}}f+b(x,f)}$

${\displaystyle f|_{x_{n}=0}=0}$

즉, 원점의 어떤 근방 ${\displaystyle N\subset W}$에 대하여, 위 조건들을 만족시키는 함수 ${\displaystyle f\colon N\to V}$가 존재한다.

이 정리에서 ${\displaystyle A_{i}}$ 및 ${\displaystyle b}$는 해석함수여야 한다. 만약 이를 매끄러운 함수로 약화시키면 이 정리는 성립하지 않는다.

역사

오귀스탱 루이 코시가 특수한 경우를 1842년 증명하였고,^[1] 소피야 코발렙스카야가 이를 1875년 일반화하였다.^[2]