코시 변환

복소해석학에서 코시 변환(영어: Cauchy transform) 또는 코시형 적분(-型積分, 영어: Cauchy-type integral)은 코시 적분 공식에 등장하는 적분 변환이다.

정의

조각마다 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}$ 곡선 ${\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to \mathbb {C} }$ 위에 정의된 연속 함수 ${\displaystyle \varphi \colon \gamma ([a,b])\to \mathbb {C} }$의 코시 변환 상 ${\displaystyle {\mathcal {C}}f}$는 다음과 같은 함수이다.

${\displaystyle {\mathcal {C}}f\colon \mathbb {C} \setminus \gamma ([a,b])\to \mathbb {C} }$

${\displaystyle {\mathcal {C}}f(w)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-w}}\mathrm {d} z\qquad \forall w\in \mathbb {C} \setminus \gamma ([a,b])}$

성질

조각마다 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}$ 곡선 ${\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to \mathbb {C} }$ 위에 정의된 연속 함수 ${\displaystyle f\colon \gamma ([a,b])\to \mathbb {C} }$의 코시 변환 상 ${\displaystyle {\mathcal {C}}f\colon \mathbb {C} \setminus \gamma ([a,b])\to \mathbb {C} }$는 정칙 함수이다. 또한, 임의의 음이 아닌 정수 ${\displaystyle n}$ 및 ${\displaystyle w\in \mathbb {C} \setminus \gamma ([a,b])}$에 대하여, 다음이 성립한다.

${\displaystyle ({\mathcal {C}}f)^{(n)}(w)={\frac {n!}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-w)^{n+1}}}\mathrm {d} z}$

증명:^[1]:89

임의의 ${\displaystyle w\in \mathbb {C} \setminus \gamma ([a,b])}$ 및 ${\displaystyle w'\in \operatorname {B} (w,d(w,\gamma ([a,b]))/2)}$를 취하자. 그렇다면, 임의의 ${\displaystyle z\in \gamma ([a,b])}$에 대하여,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{z-w'}}&={\frac {1}{z-w}}\cdot {\frac {1}{1-(w'-w)/(z-w)}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(w'-w)^{n}}{(z-w)^{n+1}}}\end{aligned}}}$

이다. 이 급수는

${\displaystyle {\frac {(w'-w)^{n}}{(z-w)^{n+1}}}\leq {\frac {1}{d(w,\gamma ([a,b]))}}\cdot {\frac {1}{2^{n}}}}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{d(w,\gamma ([a,b]))}}\cdot {\frac {1}{2^{n}}}<\infty }$

이므로 ${\displaystyle z\in \gamma ([a,b])}$에서 균등 수렴한다. 따라서,

${\displaystyle ({\mathcal {C}}f)(w')={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-w'}}\mathrm {d} z={\frac {1}{2\pi i}}\sum _{n=0}^{\infty }(w'-w)^{n}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-w)^{n+1}}}\mathrm {d} z}$

이다. 즉, ${\displaystyle {\mathcal {C}}f}$는 ${\displaystyle w}$에서 정칙 함수이며, 임의의 음이 아닌 정수 ${\displaystyle n}$에 대하여,

${\displaystyle {\frac {({\mathcal {C}}f)^{(n)}(w)}{n!}}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-w)^{n+1}}}\mathrm {d} z}$

가 성립한다.

유계 연결 열린집합 ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} }$의 경계 ${\displaystyle \partial D}$가 유한 개의 조각마다 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}$ 곡선으로 이루어졌고, 양의 방향을 가지며, 연속 함수 ${\displaystyle f\colon \operatorname {cl} D\to \mathbb {C} }$가 ${\displaystyle D}$에서 정칙 함수라고 하자. 코시 적분 공식에 따르면, ${\displaystyle f|_{\partial D}}$의 코시 변환 상은

${\displaystyle {\mathcal {C}}f\colon \mathbb {C} \setminus \partial D\to \mathbb {C} }$

${\displaystyle {\mathcal {C}}f(w)={\begin{cases}f(w)&w\in D\\0&w\not \in D\end{cases}}\qquad \forall w\in \mathbb {C} \setminus \partial D}$

이다.

예

(양의 방향을 갖는) 곡선^[2]:5-6

${\displaystyle \partial \operatorname {B} (0,2)=\{z\in \mathbb {C} \colon |z|=2\}}$

위의 연속 함수

${\displaystyle f\colon \partial \operatorname {B} (0,2)\to \mathbb {C} }$

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{(z-i)(z-3i)}}\qquad \forall z\in \varphi \colon \partial \operatorname {B} (0,2)}$

에 대한 코시 변환 상은

${\displaystyle {\mathcal {C}}f\colon \mathbb {C} \setminus \partial \operatorname {B} (0,1)\to \mathbb {C} }$

${\displaystyle {\mathcal {C}}f(w)={\begin{cases}1/(w-3i)&w\in \operatorname {B} (0,1)\\1/2i(w-i)&w\not \in \operatorname {B} (0,1)\end{cases}}\qquad \forall w\in \mathbb {C} \setminus \partial \operatorname {B} (0,1)}$

이다.