코시 부등식

이 문서는 정칙 함수가 만족시키는 부등식에 관한 것입니다. 내적 공간에서 성립하는 부등식에 대해서는 코시-슈바르츠 부등식 문서를 참고하십시오.

복소해석학에서 코시 부등식(Cauchy不等式, 영어: Cauchy's inequality) 또는 코시 추정(Cauchy推定, 영어: Cauchy's estimate)은 정칙 함수의 테일러 급수 계수의 상계를 제시하는 부등식이다.

정의

연결 열린집합 ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} }$에 정의된 정칙 함수 ${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {C} }$가 주어졌다고 하자. 코시 부등식에 따르면, 임의의 음이 아닌 정수 ${\displaystyle n}$ 및 ${\displaystyle z_{0}\in D}$ 및 ${\displaystyle 0<r<d(z_{0},\partial D)}$에 대하여, 다음이 성립한다.

${\displaystyle |f^{(n)}(z_{0})|\leq {\frac {n!}{r^{n}}}\sup _{|z-z_{0}|=r}|f(z)|}$

여기서

${\displaystyle d(z_{0},\partial D)=\inf _{z\in \partial D}|z-z_{0}|}$

이다.

증명

코시 부등식은 코시 적분 공식으로부터 다음과 같이 간단히 유도된다.

${\displaystyle {\begin{aligned}|f^{(n)}(z_{0})|&=\left|{\frac {n!}{2\pi i}}\int _{|z-z_{0}|=r}{\frac {f(z)}{(z-z_{0})^{n+1}}}\mathrm {d} z\right|\\&\leq {\frac {n!}{2\pi }}\int _{|z-z_{0}|=r}{\frac {|f(z)|}{|z-z_{0}|^{n+1}}}\left|\mathrm {d} z\right|\\&\leq {\frac {n!}{2\pi r^{n+1}}}\cdot \sup _{|z-z_{0}|=r}|f(z)|\cdot \int _{|z-z_{0}|=r}|\mathrm {d} z|\\&={\frac {n!}{r^{n}}}\sup _{|z-z_{0}|=r}|f(z)|\end{aligned}}}$

따름정리

콤팩트 집합 위의 부등식

연결 열린집합 ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} }$에 정의된 정칙 함수 ${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {C} }$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 음이 아닌 정수 ${\displaystyle n}$ 및 콤팩트 집합 ${\displaystyle K\subseteq D}$ 및 ${\displaystyle z_{0}\in K}$에 대하여, 다음이 성립한다.^{[1]:102, §3.5, 정리2}

${\displaystyle |f^{(n)}(z_{0})|\leq {\frac {n!}{d(K,\partial D)^{n}}}\sup _{z\in D}|f(z)|}$

여기서

${\displaystyle d(K,\partial D)=\inf _{z\in K,\;z'\in \partial D}|z-z'|}$

이다.

이는 코시 부등식에 의하여, 임의의 ${\displaystyle 0<r<d(K,\partial D)\leq d(z_{0},\partial D)}$에 대하여

${\displaystyle |f^{(n)}(z_{0})|\leq {\frac {n!}{r^{n}}}\sup _{|z-z_{0}|=r}|f(z)|\leq {\frac {n!}{r^{n}}}\sup _{z\in D}|f(z)|}$

이므로,

${\displaystyle |f^{(n)}(z_{0})|\leq \lim _{r\to d(K,\partial D)^{-}}{\frac {n!}{r^{n}}}\sup _{z\in D}|f(z)|={\frac {n!}{d(K,\partial D)^{n}}}\sup _{z\in D}|f(z)|}$

이기 때문이다.

콤팩트 수렴 정칙 함수열의 성질

연결 열린 집합 ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} }$에 정의된 정칙 함수열 ${\displaystyle f_{n}\colon D\to \mathbb {C} }$가 함수 ${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {C} }$로 콤팩트 수렴한다고 하자. (이 경우 ${\displaystyle f}$는 정칙 함수이다.) 그렇다면, 임의의 음이 아닌 정수 ${\displaystyle k}$에 대하여, ${\displaystyle f_{n}^{(k)}}$ 역시 ${\displaystyle f^{(k)}}$로 콤팩트 수렴한다.

임의의 콤팩트 집합 ${\displaystyle K\subseteq D}$를 취하자. 그렇다면,

${\displaystyle {\tilde {K}}=\{z\in D\colon d(z,K)\leq d(K,\partial D)/2\}}$

역시 콤팩트 집합이므로, ${\displaystyle f_{n}}$은 ${\displaystyle {\tilde {K}}}$에서 ${\displaystyle f}$로 균등 수렴한다. 또한, 코시 부등식에 의하여, 임의의 ${\displaystyle z\in K}$에 대하여,

${\displaystyle |f_{n}^{(k)}(z)-f^{(k)}(z)|\leq {\frac {k!}{d(K,\partial {\tilde {K}})^{k}}}\sup _{z\in {\tilde {K}}}|f_{n}(z)-f(z)|}$

이다. 따라서, ${\displaystyle f_{n}^{(k)}}$는 ${\displaystyle K}$에서 ${\displaystyle f^{(k)}}$로 균등 수렴한다.

리우빌 정리

리우빌 정리에 따르면, 모든 유계 전해석 함수는 상수 함수이다.

유계 전해석 함수 ${\displaystyle f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} }$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 코시 부등식에 의하여, 임의의 ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }$ 및 ${\displaystyle r>0}$에 대하여,

${\displaystyle |f'(z_{0})|\leq {\frac {1}{r}}\sup _{z\in \mathbb {C} }|f(z)|}$

이므로,

${\displaystyle |f'(z_{0})|\leq \lim _{r\to 0^{+}}{\frac {1}{r}}\sup _{z\in \mathbb {C} }|f(z)|=0}$

이다. 즉, 임의의 ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }$에 대하여, ${\displaystyle f'(z_{0})=0}$이며, 따라서 ${\displaystyle f}$는 상수 함수이다.

역사

프랑스의 수학자 오귀스탱 루이 코시가 증명하였다.