쿠쟁 문제

복소기하학에서 쿠쟁 문제(Cousin問題, 영어: Cousin problems)는 복소다양체 위의, 정칙 함수의 층과 유리형 함수의 층 사이의 관계에 대한 두 개의 유명한 문제이다.

정의

복소다양체 ${\displaystyle M}$ 및 열린 덮개 ${\displaystyle \{U_{i}\}}$ 및 유리형 함수 ${\displaystyle f_{i}\colon U_{i}\to {\hat {\mathbb {C} }}}$가 주어졌다고 하자.

제1 쿠쟁 문제

모든 ${\displaystyle i,j}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}\neq \varnothing }$이라면 ${\displaystyle f_{i}|_{U_{i}\cap U_{j}}-f_{j}|_{U_{i}\cap U_{j}}}$가 정칙함수라고 하자. 그렇다면, 제1 쿠쟁 문제는 다음 조건을 만족시키는 유리형 함수 ${\displaystyle f\colon M\to {\hat {\mathbb {C} }}}$가 존재하는지에 대한 문제이다.

• 모든 ${\displaystyle i}$에 대하여, ${\displaystyle f|_{U_{i}}-f_{i}}$는 정칙 함수이다.

이는 층 코호몰로지로 다음과 같이 서술할 수 있다. ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$가 ${\displaystyle M}$ 위의 유리형 함수의 층이며, ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$가 ${\displaystyle M}$ 위의 정칙 함수들의 층이라고 하자. 그렇다면 몫층 ${\displaystyle {\mathcal {K}}/{\mathcal {O}}}$를 정의할 수 있으며, 자연스러운 사상

${\displaystyle \Gamma _{M}({\mathcal {K}}){\xrightarrow {\phi }}\Gamma _{M}({\mathcal {K}}/{\mathcal {O}})}$

가 존재한다. 여기서 ${\displaystyle \Gamma _{M}}$은 대역적 단면들의 아벨 군이다.

${\displaystyle \{f_{i}\}_{i\in I}}$는 ${\displaystyle {\mathcal {K}}/{\mathcal {O}}}$의 대역적 단면을 정의한다. 만약 위 조건을 만족시키는 유리형 함수 ${\displaystyle f}$가 존재한다면, 이는 ${\displaystyle \{f_{i}\}_{i\in I}}$가 사상 ${\displaystyle \phi }$의 상에 포함된다는 것과 같다. 즉, 제1 쿠쟁 문제는 사상 ${\displaystyle \phi }$가 전사 사상인지 여부를 묻는다.

층 코호몰로지의 긴 완전열을 사용하면, ${\displaystyle \Gamma _{M}(-)}$은 0차 층 코호몰로지 ${\displaystyle H^{0}(M;-)}$과 같으므로,

${\displaystyle H^{0}(M;{\mathcal {K}}){\xrightarrow {\phi }}H^{0}(M;{\mathcal {K}}/\mathbf {O} )\to H^{1}(M;{\mathcal {O}})\to \cdots }$

와 같은 긴 완전열이 존재한다. 따라서, 만약 ${\displaystyle H^{1}(M;{\mathcal {O}})}$가 자명군이라면 ${\displaystyle \phi }$는 전사 사상이 되며, 제1 쿠쟁 문제가 해결 가능하다. 특히, 카르탕 B정리에 따라서, 만약 ${\displaystyle M}$이 슈타인 다양체라면 제1 쿠쟁 문제가 해결 가능하다.

제2 쿠쟁 문제

모든 ${\displaystyle i,j}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}\neq \varnothing }$이라면 ${\displaystyle (f_{i}|_{U_{i}\cap U_{j}})/(f_{j}|_{U_{i}\cap U_{j}})}$가 어디서나 0이 아닌 정칙함수라고 하자. 그렇다면, 제1 쿠쟁 문제는 다음 조건을 만족시키는 유리형 함수 ${\displaystyle f\colon M\to {\hat {\mathbb {C} }}}$가 존재하는지에 대한 문제이다.

• 모든 ${\displaystyle i}$에 대하여, ${\displaystyle f|_{U_{i}}/f_{i}}$는 정칙함수이며, 어디서나 0이 아니다.

${\displaystyle {\mathcal {O}}^{*}}$가 어디서나 0이 아닌 정칙 함수들의 곱셈군의 층이며, ${\displaystyle {\mathcal {K}}^{*}}$가 모든 곳에서 0이 아닌 유리형 함수들의 곱셈군의 층이라고 하자. 그렇다면 몫층 ${\displaystyle {\mathcal {K}}^{*}/{\mathcal {O}}^{*}}$ 및 사상

${\displaystyle \Gamma _{M}({\mathcal {K}}^{*}){\xrightarrow {\phi }}\Gamma _{M}({\mathcal {K}}^{*}/{\mathcal {O}}^{*})}$

를 정의할 수 있다. 이 경우 ${\displaystyle \{f_{i}\}_{i\in I}}$는 ${\displaystyle {\mathcal {K}}^{*}/{\mathcal {O}}^{*}}$의 대역적 단면을 정의하며, ${\displaystyle f}$는 ${\displaystyle {\mathcal {K}}^{*}}$의 대역적 단면이다. 따라서, 제2 쿠쟁 문제는 ${\displaystyle \phi }$가 전사 사상인지 여부와 동치이다.

제1 쿠쟁 문제와 마찬가지로, 층 코호몰로지의 긴 완전열을 사용하면

${\displaystyle H^{0}(M;{\mathcal {K}}^{*}){\xrightarrow {\phi }}H^{0}(M;{\mathcal {K}}^{*}/{\mathcal {O}}^{*})\to H^{1}(M;{\mathcal {O}}^{*})}$

이다. 따라서, 제2 쿠쟁 문제는 ${\displaystyle H^{1}(M;{\mathcal {O}}^{*})=0}$인 경우에만 풀 수 있다. 이 층 코호몰로지 군은 구체적으로 다음과 같이 적을 수 있다. 다음과 같은 짧은 완전열

${\displaystyle 0\to {\underline {2\pi i\mathbb {Z} }}\to {\mathcal {O}}{\xrightarrow {\exp }}{\mathcal {O}}^{*}\to 0}$

이 존재하므로, 이로부터 다음과 같은 지수열을 정의할 수 있다.

${\displaystyle H^{1}(M;{\mathcal {O}})\to H^{1}(M;{\mathcal {O}}^{*})\to 2\pi iH^{2}(M;\mathbb {Z} )\to H^{2}(M;{\mathcal {O}})\to \cdots }$

슈타인 다양체의 경우, 카르탕 B정리에 의하여 ${\displaystyle H^{1}(M;{\mathcal {O}})\cong H^{2}(M;{\mathcal {O}})\cong 0}$이다. 따라서

${\displaystyle 0\to H^{1}(M;{\mathcal {O}}^{*})\to 2\pi iH^{2}(M;\mathbb {Z} )\to 0}$

이므로, ${\displaystyle H^{1}(M;{\mathcal {O}}^{*})\cong 2\pi iH^{2}(M;\mathbb {Z} )}$이며, 슈타인 다양체에서의 제2 쿠쟁 문제의 해결의 필요충분조건은 ${\displaystyle H^{2}(M;\mathbb {Z} )\cong 0}$이다.

역사

프랑스의 수학자 피에르 쿠쟁(프랑스어: Pierre Cousin)이 1895년에 제시하였다.^[1]