클라인 부분군

군론에서 클라인 부분군(Klein部分群, 영어: Kleinian subgroup)은 ${\displaystyle \operatorname {PSL} (2;\mathbb {C} )}$의 이산 부분군이다.^[1]

정의

복소수 계수 2차원 사영 선형군 ${\displaystyle \operatorname {PSL} (2;\mathbb {C} )}$를 생각하자. 이는 다음과 같이 여겨질 수 있다.

• 3차원 쌍곡 공간 ${\displaystyle \mathbb {H} ^{3}}$의 (방향을 보존하는) 등거리 변환의 군이다.
• 3차원 열린 공 ${\displaystyle \mathbb {B} ^{3}\subseteq \mathbb {R} ^{3}}$의 (방향을 보존하는) 등각 변환의 군이다.

${\displaystyle \operatorname {PSL} (2;\mathbb {C} )}$의 부분군 ${\displaystyle \Gamma \leq \operatorname {PSL} (2;\mathbb {C} )}$이 다음 두 조건을 만족시킨다면, 클라인 부분군이라고 한다.

• 임의의 ${\displaystyle x\in \mathbb {B} ^{3}}$의 안정자군 ${\displaystyle \{\gamma \in \Gamma \colon \gamma \cdot x=x\}}$은 유한군이다.
• 임의의 ${\displaystyle x\in \mathbb {B} ^{3}}$의 궤도 ${\displaystyle \Gamma \cdot \{x\}\subseteq \mathbb {B} ^{3}}$는 (${\displaystyle \mathbb {B} ^{3}}$의 부분 공간으로서) 이산 공간이다.

무한구

열린 공 ${\displaystyle \mathbb {B} ^{3}}$의 (${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ 속에서의) 폐포 ${\displaystyle \operatorname {cl} (\mathbb {B} ^{3})}$를 생각하자. ${\displaystyle \operatorname {PSL} (2;\mathbb {C} )}$ 및 모든 클라인 부분군은 ${\displaystyle \operatorname {cl} (\mathbb {B} ^{3})}$ 위에 자연스럽게 작용한다.

경계 ${\displaystyle \mathbb {S} _{\infty }^{2}=\partial (\mathbb {B} ^{3})=\operatorname {cl} (\mathbb {B} ^{3})\setminus \mathbb {B} ^{3}}$ 를 무한구(영어: sphere at infinity)라고 한다. (이 구는 3차원 쌍곡 공간의 “무한”에 있는 것으로 여겨질 수 있다.) 클라인 부분군 ${\displaystyle \Gamma }$는 그 위에 작용한다. 임의의 점 ${\displaystyle p\in \mathbb {S} _{\infty }^{2}}$의 궤도

${\displaystyle \Gamma \cdot \{p\}\subseteq \mathbb {S} _{\infty }^{2}}$

의 응집점의 집합을 ${\displaystyle \Gamma }$의 극한 집합(영어: limit set)이라고 한다.

성질

클라인 부분군 ${\displaystyle \Gamma }$이 주어졌다고 하자. 그 극한 집합 ${\displaystyle \Lambda (\Gamma )\subseteq \mathbb {S} _{\infty }^{2}}$을 생각하자. 만약 ${\displaystyle \Gamma }$가 ${\displaystyle \operatorname {PSL} (2;\mathbb {C} )}$의 유한 생성 부분군이라면,

${\displaystyle {\frac {\mathbb {S} _{\infty }^{2}\setminus \Lambda (\Gamma )}{\Gamma }}}$

는 리만 곡면의 유한형 오비폴드이다.

역사

펠릭스 클라인^[2]과 앙리 푸앵카레가 1883년에 도입하였다.^[3] “클라인 부분군”(프랑스어: groupe kleinéen)이라는 이름은 앙리 푸앵카레가 같은 논문에서 사용하였다.

예

자명군은 자명하게 클라인 부분군이다.

비안키 군

양의 제곱 인수가 없는 정수 ${\displaystyle d}$에 대하여, 허수 이차 수체 ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-d}})}$의 대수적 정수환 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {-d}})}}$이 주어졌을 때,

${\displaystyle \operatorname {PSL} (2;{\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {-d}})})}$

는 클라인 부분군이다. 이러한 클라인 부분군을 비안키 군(영어: Bianchi group)이라고 한다.

쌍곡 다양체의 기본군

임의의 가향 쌍곡 3차원 다양체의 기본군은 클라인 부분군이다. 어떤 쌍곡 3차원 다양체 ${\displaystyle M}$의 기본군 ${\displaystyle \pi _{1}(M)}$이 클라인 부분군 ${\displaystyle \Gamma \leq \operatorname {PSL} (2;\mathbb {C} )}$과 (군으로서) 동형일 때, ${\displaystyle M}$은 ${\displaystyle \mathbb {H} ^{3}/\Gamma }$와 미분 동형이다. 이 경우, ${\displaystyle \mathbb {H} ^{3}/\Gamma }$를 ${\displaystyle M}$의 클라인 모형(영어: Kleinian model)이라고 한다.