클라인 4원군

군론에서 클라인 4원군(Klein四元群, 영어: Klein four-group)은 네 개의 원소를 가지고, 순환군이 아닌 유일한 군이다.^[1]

정의

클라인 4원군은 아벨 군 ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\times \mathbb {Z} /2}$이다.

성질

클라인 4원군은 4차 순환군 ${\displaystyle \mathbb {Z} /4}$와 더불어, 크기가 4인 두 개의 군 가운데 하나이다.

클라인 4원군은 아벨 군이며, 항등원을 제외한 나머지 원소들의 차수(order)는 2차이다.

곱셈표

클라인 4원군의 곱셈표는 다음과 같다.

×	1	a	b	ab
1	1	a	b	ab
a	a	1	ab	b
b	b	ab	1	a
ab	ab	b	a	1

유한체 구조

유한체 ${\displaystyle \mathbb {F} _{4}}$는 덧셈군으로 간주하였을 때 클라인 4원군과 동형이다. 즉, 클라인 4원군에 곱셈을 정의해, 유한체로 만들 수 있다.

자기 동형

클라인 4원군의 자기 동형군은 3차 대칭군 ${\displaystyle \operatorname {Sym} (3)}$과 동형이다.

역사

이 군은 펠릭스 클라인이 1884년에 발간한 책 《정이십면체와 5차 방정식의 해에 대한 강의》(독일어: Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade)에서 독일어: Vierergruppe 피러그루페^[*]라는 이름으로 언급되었다. 이는 독일어: Vierer 피러^[*](4개로 구성된 것) + 독일어: Gruppe 그루페^[*](군)의 합성어이다.