클라인 4차 곡선

대수기하학에서 클라인 4차 곡선(Klein4次曲線, 영어: Klein’s quartic curve)은 종수 3의 리만 곡면 가운데 가장 대칭적인 것인 모듈러 곡선이다.

정의

구체적 정의

클라인 4차 곡선은 2차원 복소수 사영 공간 ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{2}}$ 속의, 다음과 같은 4차 동차 다항식으로 정의되는 복소수 사영 대수 곡선이다. (여기서 ${\displaystyle [x:y:z]}$는 사영 공간의 동차 좌표계이다.)

${\displaystyle x^{3}y+y^{3}z+z^{3}x=0}$

모듈러 군을 통한 정의

복소수 상반평면 ${\displaystyle \mathbb {H} =\{z\in \mathbb {C} \colon \operatorname {Im} z>0\}}$ 위에는 모듈러 군 ${\displaystyle \operatorname {PSL} (2;\mathbb {Z} )}$이 자연스럽게 작용한다.

합동 부분군

${\displaystyle \Gamma (7)\leq \operatorname {PSL} (2;\mathbb {Z} )}$

에 대응되는 모듈러 곡선

${\displaystyle \mathbb {H} /\Gamma (7)}$

을 클라인 4차 곡선이라고 한다.

성질

종수

클라인 4차 곡선은 종수 3의 콤팩트 리만 곡면이다. 이는 대수기하학의 첨가 공식으로서

${\displaystyle g={\frac {1}{2}}(d-1)(d-2)=3}$

으로 계산 가능하다. (여기서 ${\displaystyle d=4}$는 사영 평면의 대수 곡선을 정의하는 동차 다항식의 차수이다.)

대칭

클라인 4차 곡선은 종수 3의 유일한 후르비츠 곡면이다. 특히, 종수 3의 연결 콤팩트 리만 곡면 가운데 최대의 크기의 자기 동형군을 갖는다.

클라인 4차 곡선의 (방향 보존) 자기 동형군은

${\displaystyle \operatorname {PSL} (2;\mathbb {F} _{7})\cong \operatorname {PSL} (3;\mathbb {F} _{2})}$

이며, 그 크기는 168이다. 이 사실은 모듈러 곡선을 통한 정의에서

${\displaystyle \operatorname {PSL} (2;\mathbb {Z} )/\Gamma (7)\cong \operatorname {PSL} (2;\mathbb {F} _{7})}$

로 계산할 수 있다.

주기

클라인 4차 곡선의 주기 행렬(영어: period matrix)을 생각하자. 종수가 3이므로, 이는 3×3 행렬로 표현되며, 적절한 기저에서는 다음과 같다.^[1]

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}\alpha &1&1\\1&\alpha &1\\1&1&\alpha \end{pmatrix}}}$

여기서

${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{2}}(-1+\mathrm {i} {\sqrt {7}})}$

이다.

데생당팡

클라인 4차 곡선의 데생당팡. 검은 꼭짓점은 (푸른 색의) 꼭짓점에 대응하며, 흰 꼭짓점은 각 변의 중점에 대응한다.

쌍곡 평면을 정7각형으로 덮은 모양

클라인 4차 곡선 ${\displaystyle X}$에서,

${\displaystyle X\twoheadrightarrow X/\operatorname {PSL} (2;\mathbb {F} _{7})\cong \mathbb {CP} ^{1}}$

에 대응하는 데생당팡은 다음과 같다.

• 총 56개의 검은 꼭짓점과 총 84개의 흰 꼭짓점이 있다.
• 모든 검은 꼭짓점의 차수는 3이며, 모든 흰 꼭짓점의 차수는 2이다.

이는 다음과 같이 생각할 수 있다.

1. 쌍곡 평면을 정7각형으로 덮는다고 하자. 이때, 각 꼭짓점에는 세 개의 정7각형이 인접해 있게 한다. 이는 (물론) 무한히 많은 정7각형들을 필요로 한다.
2. 24개의 정7각형들이 남게 특별한 몫을 취한다. (그렇다면 ${\displaystyle 7\cdot 24/3=56}$개의 꼭짓점과 ${\displaystyle 7\cdot 24/2=84}$개의 변이 있게 된다.) 이 그래프를 클라인 그래프(영어: Klein graph)라고 한다.
3. 각 꼭짓점을 검게 칠하고, 각 변의 중점에 흰 꼭짓점을 추가한다.

역사

펠릭스 클라인이 1878년에 타원 함수를 연구하던 도중 도입하였다.^[2]