킨친 상수

아래는 킨친 상수(Khinchin constant)에 대한 설명이다.

수 이론에서 알렉산드르 야코블레비치 킨친(Aleksandr Yakovlevich Khinchin) 은 거의 모든 실수 ${\displaystyle x}$에 대해 ${\displaystyle x}$ 의 연속적인 분수(연분수) 확장의 계수 ${\displaystyle a_{n}}$ 의 ${\displaystyle a_{i}}$(부분적인 몫)이 ${\displaystyle x}$ 의 값과 무관하게 킨친(Khinchin)의 상수로 알려진 기하 평균을 가지고 있음을 증명했다. 즉,

${\displaystyle x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}\;}$

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left(a_{1},a_{2},...,a_{n}\right)^{1 \over n}=K_{0}}$

킨친 상수(Khinchin constant)^[1]

${\displaystyle K=K_{0}=\prod _{k=1}^{\infty }{\left(1+{1 \over k(k+2)}\right)}^{\log _{2}k}\approx 2.6854520010\dots (OEISA002210)}$

거의 모든 숫자가 이러한 특성을 만족하지만, 목적을 위해 구체적으로 구성 되지 않은 실수에 대해서는 입증되지 않은 경우도 있다.

연속적인 분수 확장이 이 속성을 갖지 않는 것으로 알려진 ${\displaystyle x}$는 유리수 , 2차방정식의 근 (정수의 제곱근 과 황금비 ${\displaystyle \phi }$포함) 및 자연 로그 ${\displaystyle e}$의 밑수인 상수 ${\displaystyle e}$이다.

"Khinchin"은 때때로 오래된 수학 문헌에서 "Khintchine" (러시아어 Хинчин의 프랑스어 음역)으로 표기된다.

킨친 상수의 관련 표현

${\displaystyle K=\prod _{k=1}^{\infty }{\left(1+{1 \over k^{2}+2k}\right)}^{\log _{2}k}=\prod _{k=1}^{\infty }k^{\log _{2}^{}\left(1+{1 \over k^{2}+2k}\right)}}$

${\displaystyle K=\prod _{k=1}^{\infty }{\left(1+{1 \over k(k+2)}\right)}^{\log _{2}k}=\prod _{k=1}^{\infty }{\left(1+{1 \over k(k+2)}\right)}^{{lnk} \over {ln2}}}$

${\displaystyle K={{1} \over {\log(2)}}\sum _{s=1}^{\infty }{{\zeta (2s)-1} \over {s}}\sum _{k=1}^{2s-1}{{-1^{(k+1)}} \over {k}}}$

${\displaystyle K=exp\left({{1} \over {ln2}}\sum _{k=1}^{\infty }{{H_{2k-1}^{'}(\zeta (2k)-1)} \over {k}}\right)}$

${\displaystyle H}$는 조화수, ${\displaystyle \zeta }$ 리만 제타 함수

리만 제타 함수와의 관계

${\displaystyle \log(K_{0})={{1} \over {\log(2)}}\sum _{s=1}^{\infty }{{\zeta (2s)-1} \over {s}}\sum _{k=1}^{2s-1}{{-1^{(k+1)}} \over {k}}}$

${\displaystyle \log(K_{0}){\log(2)}=\sum _{s=1}^{\infty }{{\zeta (2s)-1} \over {s}}\sum _{k=1}^{2s-1}{{-1^{(k+1)}} \over {k}}}$

${\displaystyle \log(K_{0}){\log(2)}=\sum _{s=1}^{\infty }{{\zeta (2s)-1} \over {s}}\left({1 \over 1}-{1 \over 2}+{1 \over 3}-\cdots +{1 \over (2s-1)}\right)}$

양이 아닌 정수의 값

${\displaystyle K_{p}=\left[\sum _{k=1}^{\infty }-k^{p}\log _{2}\left(1-{{1} \over {(k+1)^{2}}}\right)\right]^{1 \over p}}$

${\displaystyle \;\;\;=\left[{{1} \over {ln2}}\sum _{k=1}^{\infty }k^{p}ln\left(1+{{1} \over {k(k+2)}}\right)\right]^{1 \over p}}$

${\displaystyle K_{-1}=1.74540566240\dots (OEISA087491)}$

${\displaystyle K_{-2}=1.45034032849563\dots (OEISA087492)}$

${\displaystyle K_{-3}=1.3135070786879\dots (OEISA087493)}$

같이 보기

• 수학 상수
• 레비 상수
• 뤼로스 상수