테니스 공 정리

기하학에서 테니스 공 정리(영어: Tennis ball theorem)는 구 표면 위의 매끄러운 곡선이 만나거나 교차하지 않으면서도 구 표면을 2개로 정확히 나누려고 할 때, 곡선이 접선의 한 방향으로만 구부러지지 않는 점인 변곡점이 무조건 최소 4개가 필요하다는 것을 말한다. ^[1] 테니스 공 정리는 블라디미르 아르놀트에 의해 1994년^[2][3]에 처음으로 나왔고 아르놀트의 것으로 종종 여기지만, 사실 이 정리와 비슷한 논문은 1968년 Beniamino Segre에 의해 나왔다. 그리고 테니스 공 정리는 1977년 Joel L. Weiner의 논문에서 나온 정리의 특수한 경우이다.^[4][5] 이 정리의 이름은 이음새의 모양이 이 정리의 조건과 만족하는 곡선 모양을 하고 있는 테니스공에서 유래됐다. 이 같은 종류의 곡선은 야구공 이음새에도 있다.^[1]

테니스 공

테니스 공 정리는 닫힌 반구에 포함되지 않은 모든 곡선으로 일반화를 할 수 있다. 구 위의 점대칭적인 곡선은 무조건 최소 6개의 변곡점이 필요하다. 이 정리는 매끄러운 폐평면 위의 곡선은 최소 4개의 곡률의 극값을 가진다는 4-정점 정리와 유사하다.

명제

정확하게, 구 표면에서의 2번 미분가능한 곡선( ${\displaystyle C^{2}}$ )위의 변곡점은 다음과 같은 특성을 가진 점 ${\displaystyle p}$이다. ${\displaystyle I}$를 접하는 대원이 ${\displaystyle p}$인 곡선의 교차점의 ${\displaystyle p}$를 포함하는 연결 성분이라고 하자. (대부분의 곡선에서 ${\displaystyle I}$는 ${\displaystyle p}$ 자체일 뿐만 아니라, 그 대원의 호일 수도 있다.) 그리고 ${\displaystyle p}$가 변곡점이 되기 위해, ${\displaystyle I}$의 모든 근방은 이 대원으로부터 분리된 두 반구에 모두 속하는 곡선의 점을 포함해야 된다. 이 정리는 모든 ${\displaystyle C^{2}}$곡선이 구의 면적을 동일하게 2개로 나누는 것은 최소 4개의 변곡점을 가진다는 의미에서도 설명된다.^[6]

예시

테니스공과 야구공의 이음새는 4개의 반원의 호로 구성된 곡선으로 수학적으로 모델링할 수 있으며, 정확하게 이러한 호들이 만나는 4개의 변곡점이 있다. ^[7] 대원도 구의 표면을 이등분하고 곡선의 각 지점에 하나씩 무한히 많은 변곡점을 갖는다. 그러나 곡선이 구의 표면적을 균등하게 나눈다는 조건은 정리에서 필요한 부분이다. 대원이 아닌 원과 같이 면적을 동일하게 나누지 않는 다른 곡선에는 변곡점이 전혀 없을 수 있다.^[1]

곡선 단축에 의한 증명

테니스 공 정리의 한 가지 증명은 곡선의 점을, 곡률 중심을 향해 지속적으로 이동시키는 과정인 곡선 단축 흐름을 사용한다. 주어진 곡선에 이 흐름을 적용하면 곡선의 매끄러움과 면적등분 특성을 보유한다는 것을 보여줄 수 있다. 게다가, 곡선흐름과 같이, 변곡점의 개수는 절대 늘어나지 않다. 이 흐름은 결국 곡선을 대원으로 변형시키고 이 원으로의 수렴은 푸리에 급수로 근사를 할 수 있다. 곡선 단축은 다른 대원을 바꾸지 않기 때문에, 이 수열의 첫 번째 항은 0이고 이것을 푸리에 급수에서의 0이라는 수에 대한 Sturm 정리와 결합하면 곡선이 이 대원에 가까워짐에 따라 적어도 4개의 변곡점을 갖는다는 것을 보여준다. 따라서 원래 곡선에도 최소한 4개의 변곡점이 있다.^[8][9]

관련 정리

테니스 공 정리의 일반화는 닫힌 반구에 포함되지 않은 구의 단순하고 부드러운 곡선에 적용된다. 원래의 테니스 공 정리에서와 같이 이러한 곡선에는 최소한 4개의 변곡점이 있어야 한다.^[5][10] 구의 곡선이 점대칭 이면 적어도 6개의 변곡점이 있어야 한다.^[10]

또한 밀접하게 관련된 Segre (1968)의 정리는 3차원 공간에 존재하는 구에 대한 단순한 닫힌 구면 곡선에 관한 것이다. 이러한 곡선의 경우, ${\displaystyle o}$는 정점이 아닌 3차원 볼록 껍질의 구 위의 매끄러운 곡선의 점이라 하면, 곡선에서 최소 4개의 점은 ${\displaystyle o}$를 지나는 접평면을 가진다. 특히, 반구에 포함되지 않은 곡선의 경우에는, ${\displaystyle o}$가 구의 중심에 있다고 적용할 수 있다. 구면 곡선위의 모든 변곡점은 구의 중심을 지나는 접평면을 가지고 있다.^[4][5]

이 정리는 평면의 모든 매끄러운 단순 폐곡선이 4개의 정점 (곡률의 극값)을 갖는다는 4-정점 정리 와 유사하다. 또한 사영면의 모든 수축 불가능한 부드러운 곡선에는 최소한 3개의 변곡점이 있다는 뫼비우스의 정리와 유사하다.^[2][9]