토렐리 정리

대수기하학에서 토렐리 정리(Torelli定理, 영어: Torelli theorem)는 리만 곡면이 그 야코비 다양체에 의하여 결정된다는 정리다. 즉, 리만 곡면의 모듈라이 공간에서 야코비 다양체로의 사상은 단사 함수이다. K3 곡면^[1]과 칼라비-야우 다양체^[2]의 경우에도 유사한 정리가 존재한다.

정의

종수가 ${\displaystyle g}$인 리만 곡면들의 모듈러스 공간 ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$는 (${\displaystyle g>1}$인 경우) ${\displaystyle 3g-3}$차원 복소 공간이다. ${\displaystyle g}$차원 복소 주극성화 아벨 다양체의 모듈러스 공간

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{g}\cong \operatorname {Sp} (2g;\mathbb {Z} )\backslash \operatorname {Sp} (2g;\mathbb {R} )/\operatorname {U} (g)}$

은 ${\displaystyle g(g+1)/2}$차원 복소 공간이다. 주기 사상(period mapping)에 의하여, 주어진 종수 ${\displaystyle g}$의 리만 곡면 ${\displaystyle \Sigma _{g}}$로부터 그 야코비 다양체

${\displaystyle J(\Sigma _{g})=H^{1}(\Sigma _{g};\mathbb {C} )/H^{1}(\Sigma _{g};\mathbb {Z} )}$

를 정의할 수 있다. 야코비 다양체는 ${\displaystyle g}$차원 아벨 다양체이므로, 이는 리만 곡면 모듈러스 공간 ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$에서 아벨 다양체 모듈러스 공간 ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{g}}$로 가는 사상

${\displaystyle \iota \colon {\mathcal {M}}_{g}\to {\mathcal {A}}_{g}}$

를 정의한다. 토렐리 정리에 따르면, 이는 단사 함수이다.

예

종수가 ${\displaystyle g=0}$인 경우, ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{0}}$와 ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{0}}$ 둘 다 하나의 점이므로 토렐리 정리는 자명하다.

${\displaystyle g=1}$인 경우,

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{0}\cong {\mathcal {A}}_{1}\cong \mathbb {H} /\operatorname {PSL} (2;\mathbb {Z} )}$

이다. (종수 1의 리만 곡면과 1차원 아벨 다양체 둘 다 타원 곡선이다.) 이 경우 주기 사상은 단사 함수일 뿐만 아니라 전단사 함수이다.

종수가 ${\displaystyle g=2,3}$인 경우에도 ${\displaystyle \dim {\mathcal {M}}_{g}=\dim {\mathcal {A}}_{g}}$이다. 이 경우, ${\displaystyle \iota ({\mathcal {M}}_{g})\subset {\mathcal {A}}_{g}}$의 폐포는 ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{g}}$ 전체이다.^[3]

종수가 ${\displaystyle g\geq 4}$인 경우 ${\displaystyle \dim {\mathcal {M}}_{g}<\dim {\mathcal {A}}_{g}}$이다. 이 경우, ${\displaystyle \iota ({\mathcal {M}}_{g})\subset {\mathcal {A}}_{g}}$는 진부분집합이며, 이를 결정짓는 문제를 숏키 문제(영어: Schottky problem)라고 한다.^[3]

역사

루제로 토렐리(이탈리아어: Ruggiero Torelli)가 1913년 증명하였다.^[4][5]