톰-쿡 알고리즘

톰–쿡 알고리즘(Toom–Cook algorithm)은 안드레이 톰과 스테픈 쿡이 제안한 곱셈 알고리즘으로 큰 두 정수를 곱할 때 사용된다.

톰-쿡 알고리즘에서는 큰 정수 a와 b를 곱하기 위해, 두 수를 작은 조각으로 나눈다. 조각의 수를 k라고 할때, k가 커질수록 곱셈의 내부 연산법은 복잡해지지만, 전체 시간 복잡도는 낮아진다. 이 곱셈 방법은 나눠진 각각의 조각에 대해서도 다시 적용할 수 있기 때문에, 조각이 작아질때까지 재귀적으로 사용할 수 있다.

톰-3 알고리즘은 k가 3일 경우를 가리키며, 9번의 곱셈을 5번으로 단축시켜, Θ(n^{log(5)/log(3)}), 즉 Θ(n^1.465) 시간 안에 곱셈을 완료한다. 일반적으로 톰-k 알고리즘은 Θ(c(k) n^e) 시간에 수행될 수 있다. 여기서 e = log(2k − 1) / log(k), n^e은 조각들 간의 곱셈에 걸리는 시간, c는 덧셈이나 뺄셈, 혹은 작은 상수와의 곱셈에 걸리는 시간을 뜻한다.^[1] 카라슈바 알고리즘은 톰-쿡 알고리즘에서 k가 2인 특별한 경우로, 4번의 곱셈을 3번으로 줄여 Θ(n^{log(3)/log(2)}) 시간 안에 수행된다. k가 1인 경우는 일반적인 곱셈 알고리즘과 동일해지며 시간 복잡도는 Θ(n²)가 된다.

k값을 증가시켜서 e값을 거의 1에 가깝게 낮출수 있지만, 이 경우 c의 값이 급속하게 커져 소용이 없다.^[1][2] 이런 부가적인 연산 때문에 톰-쿡 알고리즘은 작은 정수의 곱셈에 적용하면 일반 곱셈법보다 느려지기에 이 알고리즘은 적당히 큰 정수에 사용되며, 정수 크기가 훨씬 더 커질 경우는 시간복잡도가 Θ(n log n log log n)인 쇤하게-슈트라센 알고리즘이더빠 르게 된다.

톰은 1963년에 처음 이 알고리즘을 제시하였고, 쿡은 1966년에 그의 박사 논문에서 이 알고리즘을 개량시켰다.^[3]

상세

이 단락은 톰-k 알고리즘이 어떻게 작동하는지를 간략하게 설명한다.^[4] 알고리즘은 크게 5단계를 거쳐 완료된다.

1. 분할
2. 평가
3. 점별 곱셈
4. 보간
5. 합성

큰 정수를 구현하는데 있어서, 대개 위치 기수법으로 각 자리의 정수를 표현하는 방법이 자주 사용된다. 이 때의 밑을 b라고 하자. 이 예시에서는 b = 10000을 사용할 것이므로, 한 자리에는 4개의 10진 정수가 들어가게 된다. (실제 컴퓨터 구현에서는 연산의 효율성을 위해 b값으로 2의 거듭제곱이 사용된다.) 두 큰 정수를 다음과 같다고 하자.

m	=	12	3456	7890	1234	5678	9012
n	=	9	8765	4321	9876	5432	1098.

물론 이 정수들은 톰-쿡 알고리즘을 사용하기엔 작아서, 그냥 일반 곱셈법이 훨씬 빠르다. 하지만 설명을 위해 이 값을 사용하도록 한다.

분할

첫번째 단계는 정수를 k개의 조각으로 자르기 위한 적절한 단위인 B = bⁱ를 찾는 것이다. 일반적으로 i는 다음과 같이 구할 수 있다.

${\displaystyle i=\max\{{\lfloor }{\lfloor }\log _{b}m{\rfloor }/k{\rfloor },{\lfloor }{\lfloor }\log _{b}n{\rfloor }/k{\rfloor }\}+1.}$

이 예제에서는 톰-3 알고리즘을 사용할 것이므로, B = b² = 10⁸가 된다. 이 B값을 단위로 m과 n을 자르면 m_i, n_i는 다음과 같이 될 것이다.

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{2}&{}=123456\\m_{1}&{}=78901234\\m_{0}&{}=56789012\\n_{2}&{}=98765\\n_{1}&{}=43219876\\n_{0}&{}=54321098\end{aligned}}}$

우리는 이 수를 계수로 하는 k−1차 다항식을 만들것이다.

${\displaystyle p(x)=m_{2}x^{2}+m_{1}x+m_{0}=123456x^{2}[phone]x+56789012\,}$

${\displaystyle q(x)=n_{2}x^{2}+n_{1}x+n_{0}=98765x^{2}[phone]x+54321098\,}$

다항식을 이렇게 정의하면 p(B) = m, q(B) = n이 된다. 이렇게 정의한 목적은 두 다항식의 곱인 r(x) = p(x)q(x)를 구하기 위해서이다. 즉 우리가 구하고자 하는 결과는 이 다항식에 B를 대입함으로써 얻을 수 있다. r(B) = m×n

m과 n을 일반적인 곱셈법으로 곱하면 (여기서는 3 조각으로 나누었으므로), 조각 간의 곱셈이 9번 필요하다. 하지만, r(x)는 2(k−1)차 다항식(k가 3이므로 4차 다항식)이므로, 2k−1개의 미지 계수를 구하기 위해서는 2k-1개의 방정식만 있으면 된다. 이 방정식은 선형 대수를 이용하여 간단한 방법으로 풀어낼 수 있으므로, 결과적으로 일반 곱셈법보다 적은 수의 곱셈을 사용하여 결과를 얻을 수 있게 된다.

만약 곱하는 두 수의 자리수가 다를 경우 k값을 m과 n에 따라 다르게 주는 것이 유용하다. 톰-2.5 알고리즘에서는 k_m = 3 and k_n = 2 와 같은 값을 사용한다. 이 때의 i는 다음과 같이 구할 수 있다.

${\displaystyle i=\max\{{\lfloor }{\lceil }\log _{b}m{\rceil }/k_{m}{\rfloor },{\lfloor }{\lceil }\log _{b}n{\rceil }/k_{n}{\rfloor }\}.}$

평가

앞서 언급했듯, 톰-쿡 알고리즘에서는 r(B)를 구하기 위해 r(x)의 각 계수를 구한다. 이 계수를 구하기 위해 적당한 x를 선정하여 p(x)와 q(x)의 값을 구한다. (k가 3인 경우 r(x)는 4차식이 되고, 미지계수는 5개이므로 총 5개의 지점을 구해야한다.) 간단한 계산을 위해 대개 x는 0이나 1, 2, &minus1, &minus2 등의 값을 넣는다. 특별한 지점으로 흔히 무한대로 표기하는 값이 있는데, 이는 극한 표기를 간단하게 적은 것으로 최고 차항의 계수를 뜻한다.

이 예제에서는 x에 0, 1, −1, −2, ∞을 넣어 계산해볼 것이다:

${\displaystyle {\begin{aligned}p(0)&{}=m_{0}+m_{1}(0)+m_{2}(0)^{2}=m_{0}\\p(1)&{}=m_{0}+m_{1}(1)+m_{2}(1)^{2}=m_{0}+m_{1}+m_{2}\\p(-1)&{}=m_{0}+m_{1}(-1)+m_{2}(-1)^{2}=m_{0}-m_{1}+m_{2}\\p(-2)&{}=m_{0}+m_{1}(-2)+m_{2}(-2)^{2}=m_{0}-2m_{1}+4m_{2}\\p(\infty )&{}=m_{2}\end{aligned}}}$

q에 대해서도 마찬가지. 예시의 값을 실제로 대입하면 다음과 같다:

p(0)	=	m0	=	56789012	=	56789012
p(1)	=	m0 + m1 + m2	=	56789012 + 78901234 + 123456	=	135813702
p(−1)	=	m0 − m1 + m2	=	56789012 − 78901234 + 123456	=	−21988766
p(−2)	=	m0 − 2m1 + 4m2	=	56789012 − 2×78901234 + 4×123456	=	−100519632
p(∞)	=	m2	=	123456	=	123456
q(0)	=	n0	=	54321098	=	54321098
q(1)	=	n0 + n1 + n2	=	54321098 + 43219876 + 98765	=	97639739
q(−1)	=	n0 − n1 + n2	=	54321098 − 43219876 + 98765	=	11199987
q(−2)	=	n0 − 2n1 + 4n2	=	54321098 − 2×43219876 + 4×98765	=	−31723594
q(∞)	=	n2	=	98765	=	98765.

위에 보이는대로 결과값이 음수가 될 수도 있다.

다음과 같이 행렬로 간단하게 표현할 수 있다. 이 표현은 보간 과정에서도 유용하게 쓸 수 있다.

${\displaystyle \left({\begin{matrix}p(0)\\p(1)\\p(-1)\\p(-2)\\p(\infty )\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}0^{0}&0^{1}&0^{2}\\1^{0}&1^{1}&1^{2}\\(-1)^{0}&(-1)^{1}&(-1)^{2}\\(-2)^{0}&(-2)^{1}&(-2)^{2}\\0&0&1\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}m_{0}\\m_{1}\\m_{2}\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}1&0&0\\1&1&1\\1&-1&1\\1&-2&4\\0&0&1\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}m_{0}\\m_{1}\\m_{2}\end{matrix}}\right).}$

빠른 평가

평가 시 각 지점에서 중복되는 연산을 줄여 더 빠르게 계산하는 방법이 있다. 이 방법을 사용할 경우 덧셈/뺄셈의 수를 줄일 수 있다. 여기에서는 톰-3의 경우만 제시한다.

p0	←	m0 + m2	=	56789012 + 123456	=	56912468
p(0)	=	m0	=	56789012	=	56789012
p(1)	=	p0 + m1	=	56912468 + 78901234	=	135813702
p(−1)	=	p0 − m1	=	56912468 − 78901234	=	−21988766
p(−2)	=	(p(−1) + m2)×2 − m0	=	(− 21988766 + 123456 )×2 − 56789012	=	− 100519632
p(∞)	=	m2	=	123456	=	123456.

이 과정은 오직 5번의 덧셈/뺄셈이 필요하다. 이는 단순 계산보다 1회 적은 것이다.

점별 곱셈

두 다항식 p(x)와 q(x)를 통째로 곱하는 대신, 앞에서 구한 여러 개의 지점에 대해서 p(a)q(a)를 구한다. 이는 원래 목표였던 큰 정수끼리의 곱셈보다 훨씬 작은 수끼리의 연산이 된다. 게다가 점별 곱셈 과정에 톰-쿡 알고리즘을 재귀적으로 사용하여 실제로 곱하게 되는 수를 일반 곱셈법으로도 충분히 빠르게 곱할 수 있는 크기로 줄일 수 있다. 이 예시의 결과물은 다음과 같을 것이다.

r(0)	=	p(0)q(0)	=	56789012 × 54321098	=	3084841486175176
r(1)	=	p(1)q(1)	=	135813702 × 97639739	=	13260814415903778
r(−1)	=	p(−1)q(−1)	=	−21988766 × 11199987	=	−246273893346042
r(−2)	=	p(−2)q(−2)	=	−100519632 × −31723594	=	3188843994597408
r(∞)	=	p(∞)q(∞)	=	123456 × 98765	=	12193131840.

이 과정이 가장 시간을 오래 잡아먹는 부분이다. 나머지 과정은 m과 n의 크기와 선형의 시간복잡도를 갖기만, 오직 이 과정만 그보다 큰 시간복잡도를 갖는다.

보간

이 과정은 전체 과정 중 가장 복잡한 과정으로, 위에서 구한 점별 곱셈 결과를 이용하여 다항식 r(x)의 미지계수를 구하는 과정이다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\begin{matrix}r(0)\\r(1)\\r(-1)\\r(-2)\\r(\infty )\end{matrix}}\right)&{}=\left({\begin{matrix}0^{0}&0^{1}&0^{2}&0^{3}&0^{4}\\1^{0}&1^{1}&1^{2}&1^{3}&1^{4}\\(-1)^{0}&(-1)^{1}&(-1)^{2}&(-1)^{3}&(-1)^{4}\\(-2)^{0}&(-2)^{1}&(-2)^{2}&(-2)^{3}&(-2)^{4}\\0&0&0&0&1\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}r_{0}\\r_{1}\\r_{2}\\r_{3}\\r_{4}\end{matrix}}\right)\\&{}=\left({\begin{matrix}1&0&0&0&0\\1&1&1&1&1\\1&-1&1&-1&1\\1&-2&4&-8&16\\0&0&0&0&1\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}r_{0}\\r_{1}\\r_{2}\\r_{3}\\r_{4}\end{matrix}}\right).\end{aligned}}}$

이 행렬은 평가 과정에서 만들었던 행렬과 같은 방식으로 만들어진 것이다. 가우스 소거법을 통해 이 행렬의 역행렬을 구할수도 있지만, 이는 너무 느리다. 하지만 우리가 앞서 고른 지점이 0, 1, &minus1, 2, &minus2 등으로 단순하므로 복잡한 계산과정 없이 행렬을 풀어낼 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\begin{matrix}r_{0}\\r_{1}\\r_{2}\\r_{3}\\r_{4}\end{matrix}}\right)&{}=\left({\begin{matrix}1&0&0&0&0\\1&1&1&1&1\\1&-1&1&-1&1\\1&-2&4&-8&16\\0&0&0&0&1\end{matrix}}\right)^{-1}\left({\begin{matrix}r(0)\\r(1)\\r(-1)\\r(-2)\\r(\infty )\end{matrix}}\right)\\&{}=\left({\begin{matrix}1&0&0&0&0\\1/2&1/3&-1&1/6&-2\\-1&1/2&1/2&0&-1\\-1/2&1/6&1/2&-1/6&2\\0&0&0&0&1\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}r(0)\\r(1)\\r(-1)\\r(-2)\\r(\infty )\end{matrix}}\right).\end{aligned}}}$

이제 남은 과정들은 모두 행렬-벡터 간의 곱셈이다. 행렬에 분수가 들어있지만, 그 결과는 정수로 나온다. 그렇기에 이 과정은 정수 간의 덧셈/뺄셈과 작은 상수를 곱하고 나누는 연산만 가지고 수행할 수 있다. 하지만 이 과정을 효율적으로 짜는 것은 쉽지 않은 일이다. 여기에서는 톰-3 알고리즘의 효율적인 방법을 소개한다.^[4]

r0	←	r(0)	=	3084841486175176
r4	←	r(∞)	=	12193131840
r3	←	(r(−2) − r(1))/3	=	(3188843994597408 − 13260814415903778)/3
			=	−3357323473768790
r1	←	(r(1) − r(−1))/2	=	(13260814415903778 − (−246273893346042))/2
			=	6753544154624910
r2	←	r(−1) − r(0)	=	−246273893346042 − 3084841486175176
			=	−3331115379521218
r3	←	(r2 − r3)/2 + 2r(∞)	=	(−3331115379521218 − (−3357323473768790))/2 + 2×12193131840
			=	13128433387466
r2	←	r2 + r1 − r4	=	−3331115379521218 + 6753544154624910 − 12193131840
			=	3422416581971852
r1	←	r1 − r3	=	6753544154624910 − 13128433387466
			=	6740415721237444.

이제 다항식 r(x)의 모든 계수를 알게 되었다:

${\displaystyle {\begin{aligned}r(x)&{}=3084841486175176\\&{}\quad +6740415721237444x\\&{}\quad +3422416581971852x^{2}\\&{}\quad [phone]x^{3}\\&{}\quad [phone]x^{4}.\end{aligned}}}$

만약 두 정수의 크기가 다르거나, 평가 지점이 다르다면 이 행렬 계산식 역시 달라질 것이다. 하지만 이는 사전에 계산될 수 있는 부분이므로 미리 효율적으로 작성해 둘 수 있다.

합성

최종적으로 다항식 r(x)에 B를 대입하여 결과를 얻어낼 수 있다. 여기서 b = 10⁴였으므로, B = b² = 10⁸이다.

								3084	8414	8617	5176
						6740	4157	2123	7444
				3422	4165	8197	1852
		13	1284	3338	7466
+	121	9313	1840
	121	9326	3124	6761	1632	4937	6009	5208	5858	8617	5176

위 결과가 1234567890123456789012와 987654321987654321098의 곱이다.

k값에 따른 보간 행렬

k값에 따른 보간 행렬을 몇 가지 정리해두었다.

톰-1

톰-1 (k_m = k_n = 1)은 1개의 지점만을 필요로 한다. 여기서는 0을 잡았다. 사실 이는 일반 곱셈알고리즘과 동일하다:

${\displaystyle \left({\begin{matrix}1\end{matrix}}\right)^{-1}=\left({\begin{matrix}1\end{matrix}}\right).}$

톰-1.5

톰-1.5 (k_m = 2, k_n = 1)는 2개의 지점을 필요로 한다. 여기서는 0과 ∞를 잡았다. 보간 행렬은 단위행렬과 동일하다:

${\displaystyle \left({\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}}\right)^{-1}=\left({\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}}\right).}$

톰-2

톰-2 (k_m = 2, k_n = 2)은 3개의 지점을 필요로 하고, 대개 0, 1, ∞를 잡는다. 이는 카라슈바 알고리즘과 동일하다:

${\displaystyle \left({\begin{matrix}1&0&0\\1&1&1\\0&0&1\end{matrix}}\right)^{-1}=\left({\begin{matrix}1&0&0\\-1&1&-1\\0&0&1\end{matrix}}\right).}$

톰-2.5

톰-2.5 (k_m = 3, k_n = 2)는 4개의 평가지점을 필요로 한다. 여기에서는 0, 1, -1, ∞를 잡았다:

${\displaystyle \left({\begin{matrix}1&0&0&0\\1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\0&0&0&1\end{matrix}}\right)^{-1}=\left({\begin{matrix}1&0&0&0\\0&1/2&-1/2&-1\\-1&1/2&1/2&0\\0&0&0&1\end{matrix}}\right).}$