특성곡선법

해석학에서 특성곡선법(特性曲線法, 영어: method of characteristics)은 1차 편미분 방정식을 연립 1차 상미분 방정식으로 환원하여 푸는 방법이다.

정의

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• ${\displaystyle n}$차원 매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$
• ${\displaystyle M}$ 위의 두 매끄러운 벡터 다발 ${\displaystyle E,F\twoheadrightarrow M}$
• ${\displaystyle M}$ 위의 ${\displaystyle k}$차 미분 연산자 ${\displaystyle D\colon \Gamma ^{\infty }(M,E)\to \Gamma ^{\infty }(M,F)}$

${\displaystyle D}$의 주표상이 국소 좌표계에서

${\displaystyle \sigma _{D}(x,v)=P^{\mu _{1}\dotso \mu _{k}}v_{\mu _{1}}\dotsm v_{\mu _{k}}\qquad \left(x\in M,\;v\in \mathrm {T} _{x}^{*}M,\;P^{\mu _{1}\dotso \mu _{k}}\in \operatorname {GL} (E_{x},F_{x};\mathbb {R} )\right)}$

라고 하자. 이는 벡터 다발 사상

${\displaystyle \sigma _{D}\colon E\otimes \operatorname {Sym} ^{k}(\mathrm {T} ^{*}\!M)\to F}$

를 정의한다. (${\displaystyle \operatorname {Sym} ^{k}}$는 올별 ${\displaystyle k}$차 대칭 대수 벡터 다발이다.) 이 벡터 다발 사상의 핵, 즉

${\displaystyle \ker \sigma _{D}=\left\{(x,u)\in \Gamma ^{\infty }(E\otimes \operatorname {Sym} ^{k}(\mathrm {T} ^{*}\!M)\colon \sigma _{D}(x,u)=0\right\}\subseteq E\otimes \operatorname {Sym} ^{k}(\mathrm {T} ^{*}\!M)}$

을 ${\displaystyle s}$의 특성점의 집합이라고 한다.

임의의 실수 값 매끄러운 함수

${\displaystyle h\colon M\to \mathbb {R} }$

가 주어졌다고 하자. 이 경우, 각 ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$에 대하여 ${\displaystyle h^{-1}(t)}$는 (적절한 조건 아래) ${\displaystyle n-1}$차원 초곡면을 이룬다. 만약

${\displaystyle \sigma _{D}(x,\mathrm {d} h|_{x})=0}$

일 경우, 각 ${\displaystyle h^{-1}(t)}$를 ${\displaystyle D}$의 특성 초곡면(영어: characteristic hypersurface)이라고 한다. 만약 ${\displaystyle n=2}$일 경우 이는 ${\displaystyle D}$의 특성 곡선(영어: characteristic curve)이라고 하며, ${\displaystyle n=3}$일 경우 특성 곡면(영어: characteristic surface)이라고 한다.

예

매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$ 위의 벡터장

${\displaystyle X\in \Gamma ^{\infty }(\mathrm {T} M)}$

이 주어졌다고 하자. 이에 대한 미분 연산자

${\displaystyle D=\nabla _{X}\colon {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} )\to {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} )}$

를 생각하자. ${\displaystyle D}$의 특성 초곡면을 정의하는 함수 ${\displaystyle h\colon M\to \mathbb {R} }$는

${\displaystyle \langle X,\mathrm {d} h\rangle =0}$

을 만족시킨다.

예를 들어, 편의상 준 리만 계량 ${\displaystyle g}$를 부여하였을 때, 임의의 곡선 ${\displaystyle \gamma \colon \mathbb {R} \to M}$에 대하여, 그 상이 특성 곡선을 이룰 조건은

${\displaystyle g(X,{\dot {\gamma }})=0}$

인 것이다. 이는 1차 상미분 방정식이다.

매우 구체적으로, ${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{2}=\{(x,y)\colon x,y\in \mathbb {R} \}}$이며 ${\displaystyle X=p\partial _{x}+q\partial _{y}}$라고 하자. 그렇다면 특성 곡선들은

${\displaystyle h(x,y)=qx-py}$

로 정의되는 직선족 ${\displaystyle (h^{-1}(t))_{t\in \mathbb {R} }}$이다.

참고 문헌

• Delgado, Manuel (1997년 7월). “The Lagrange–Charpit Method”. 《Society for Industrial and Applied Mathematics Review》 (영어) 39 (2): 298–304. doi:10.1137/S0036144595293534. ISSN 0036-1445. JSTOR 2133111.

외부 링크

• “Characteristic”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• “Characteristic surface”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• “Method of characteristics”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Characteristic”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• Sarra, Scott A. (2003년 2월). “The method of characteristics & conservation laws”. 《Journal of Online Mathematics and its Applications》 (영어). 2014년 10월 6일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 10월 4일에 확인함.