특수선형군

군론에서 특수선형군(特殊線型群, special linear group)은 행렬식이 1인 정사각행렬들이 이루는 군이다. 기호는 ${\displaystyle \operatorname {SL} (n,\mathbb {F} )}$.

정의

${\displaystyle \mathbb {F} }$가 체라고 하자. 특수선형군 ${\displaystyle SL(n,\mathbb {F} )}$는 행렬식이 1인 ${\displaystyle n\times n}$ 정사각행렬들이 이루는, 곱셈에 대한 군이다.

성질

특수선형군은 일반선형군의 정규 부분군이며, 행렬식 군 준동형의 핵이다. 즉, 다음과 같은 행렬식 사상

${\displaystyle \det \colon \operatorname {GL} (n,\mathbb {F} )\to F^{\times }}$

이 주어졌을 때 (${\displaystyle \mathbb {F} ^{\times }}$는 0이 아닌 체의 원소들의 곱셈군), 다음과 같은 짧은 완전열이 존재한다.

${\displaystyle 1\to \operatorname {SL} (n,\mathbb {F} )\hookrightarrow \operatorname {GL} (n,\mathbb {F} ){\overset {\det }{\twoheadrightarrow }}\mathbb {F} ^{\times }\to 1}$.

만약 ${\displaystyle \mathbb {F} }$가 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 또는 ${\displaystyle \mathbb {C} }$이라면, ${\displaystyle SL(n,\mathbb {F} )}$는 리 군을 이룬다. 이 리 군의 차원은 ${\displaystyle n^{2}-1}$차원이다 (실수 또는 복소 차원). 이에 대한 리 대수 ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n,\mathbb {F} )}$는 대각합이 0인 ${\displaystyle n\times n}$ 정사각행렬들로 구성된다.

특수한 경우

• ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )}$는 뫼비우스 변환의 군 ${\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {C} )}$의 두 겹 피복 공간이다. (이는 ${\displaystyle M\sim -M}$으로 몫군을 취했기 때문이다.)
• 마찬가지로, ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )}$는 복소 반평면의 자기동형사상군 ${\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )}$의 두 겹 피복 공간이다.

외부 링크

• “Special linear group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Special linear group”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.

같이 보기

• 일반선형군
• 2차원 실수 특수선형군