파데 근사

해석학에서, 파데 근사(Padé近似, 영어: Padé approximant)는 어떤 함수를 유리 함수로 근사하는 방법이다. 테일러 급수의 일반화이다.

정의

매끄러운 함수 ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ 및 음이 아닌 정수 ${\displaystyle m,n\in \mathbb {N} }$이 주어졌다고 하자. ${\displaystyle f}$의 ${\displaystyle (m,n)}$차 파데 근사 ${\displaystyle [m/n]_{f}}$는 다음과 같은 꼴의 유리 함수이다.

${\displaystyle [m/n]_{f}(x)={\frac {\sum _{j=0}^{m}a_{j}x^{j}}{1+\sum _{i=1}^{n}b_{i}x^{i}}}}$

이는 다음 성질을 만족시켜야 한다.

${\displaystyle f^{(k)}(0)=[m/n]_{f}^{(k)}(0)\qquad \forall k\in \{0,\dots ,m+n\}}$

즉, ${\displaystyle (m,n)}$차 파데 근사는 ${\displaystyle m+n}$차 도함수까지 원래 함수와 일치한다.

주어진 ${\displaystyle (m,n)}$에 대하여, 파데 근사는 (만약 존재한다면) 유일하다. ${\displaystyle n=0}$이라면, 파데 근사는 매클로린 급수가 된다. 마찬가지로, ${\displaystyle m=0}$이며 ${\displaystyle f(0)\neq 0}$이라면 ${\displaystyle f}$ 파데 근사는 ${\displaystyle 1/f}$의 매클로린 급수의 역수이다.

계산

매끄러운 함수 ${\displaystyle f}$의 파데 근사를 계산한다고 하자. ${\displaystyle f(x)}$의 ${\displaystyle m+n}$차 매클로린 급수를 ${\displaystyle T(x)\in \mathbb {R} [x]}$라고 하자.

${\displaystyle f(x)=T(x)+{\mathcal {O}}(x^{m+n+1})}$

만약

${\displaystyle [m/n]_{f}(x)={\frac {p(x)}{1+xq(x)}}}$

라면, 이는

${\displaystyle p(x)=T(x)(1+xq(x)){\pmod {x^{m+n+1}}}}$

과 동치이다. 이는 양변을 전개하여, ${\displaystyle m+n}$개의 변수에 대한 ${\displaystyle m+n}$개의 연립 1차 방정식으로 놓을 수 있으므로, 쉽게 풀 수 있다.

예

지수 함수 ${\displaystyle x\mapsto \exp x}$의 파데 근사들은 다음과 같다.

m \ n	0	1	2	3
0	${\displaystyle {\frac {1}{1}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{1-z}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{1-z+{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}z^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{1-z+{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}z^{2}-{\scriptstyle {\frac {1}{6}}}z^{3}}}}$
1	${\displaystyle {\frac {1+z}{1}}}$	${\displaystyle {\frac {1+{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}z}{1-{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}z}}}$	${\displaystyle {\frac {1+{\scriptstyle {\frac {1}{3}}}z}{1-{\scriptstyle {\frac {2}{3}}}z+{\scriptstyle {\frac {1}{6}}}z^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {1+{\scriptstyle {\frac {1}{4}}}z}{1-{\scriptstyle {\frac {3}{4}}}z+{\scriptstyle {\frac {1}{4}}}z^{2}-{\scriptstyle {\frac {1}{24}}}z^{3}}}}$
2	${\displaystyle {\frac {1+z+{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}z^{2}}{1}}}$	${\displaystyle {\frac {1+{\scriptstyle {\frac {2}{3}}}z+{\scriptstyle {\frac {1}{6}}}z^{2}}{1-{\scriptstyle {\frac {1}{3}}}z}}}$	${\displaystyle {\frac {1+{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}z+{\scriptstyle {\frac {1}{12}}}z^{2}}{1-{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}z+{\scriptstyle {\frac {1}{12}}}z^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {1+{\scriptstyle {\frac {2}{5}}}z+{\scriptstyle {\frac {1}{20}}}z^{2}}{1-{\scriptstyle {\frac {3}{5}}}z+{\scriptstyle {\frac {3}{20}}}z^{2}-{\scriptstyle {\frac {1}{60}}}z^{3}}}}$
3	${\displaystyle {\frac {1+z+{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}z^{2}+{\scriptstyle {\frac {1}{6}}}z^{3}}{1}}}$	${\displaystyle {\frac {1+{\scriptstyle {\frac {3}{4}}}z+{\scriptstyle {\frac {1}{4}}}z^{2}+{\scriptstyle {\frac {1}{24}}}z^{3}}{1-{\scriptstyle {\frac {1}{4}}}z}}}$	${\displaystyle {\frac {1+{\scriptstyle {\frac {3}{5}}}z+{\scriptstyle {\frac {3}{20}}}z^{2}+{\scriptstyle {\frac {1}{60}}}z^{3}}{1-{\scriptstyle {\frac {2}{5}}}z+{\scriptstyle {\frac {1}{20}}}z^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {1+{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}z+{\scriptstyle {\frac {1}{10}}}z^{2}+{\scriptstyle {\frac {1}{120}}}z^{3}}{1-{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}z+{\scriptstyle {\frac {1}{10}}}z^{2}-{\scriptstyle {\frac {1}{120}}}z^{3}}}}$
4	${\displaystyle {\frac {1+z+{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}z^{2}+{\scriptstyle {\frac {1}{6}}}z^{3}+{\scriptstyle {\frac {1}{24}}}z^{4}}{1}}}$	${\displaystyle {\frac {1+{\scriptstyle {\frac {4}{5}}}z+{\scriptstyle {\frac {3}{10}}}z^{2}+{\scriptstyle {\frac {1}{15}}}z^{3}+{\scriptstyle {\frac {1}{120}}}z^{4}}{1-{\scriptstyle {\frac {1}{5}}}z}}}$	${\displaystyle {\frac {1+{\scriptstyle {\frac {2}{3}}}z+{\scriptstyle {\frac {1}{5}}}z^{2}+{\scriptstyle {\frac {1}{30}}}z^{3}+{\scriptstyle {\frac {1}{360}}}z^{4}}{1-{\scriptstyle {\frac {1}{3}}}z+{\scriptstyle {\frac {1}{30}}}z^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {1+{\scriptstyle {\frac {4}{7}}}z+{\scriptstyle {\frac {1}{7}}}z^{2}+{\scriptstyle {\frac {2}{105}}}z^{3}+{\scriptstyle {\frac {1}{840}}}z^{4}}{1-{\scriptstyle {\frac {3}{7}}}z+{\scriptstyle {\frac {1}{14}}}z^{2}-{\scriptstyle {\frac {1}{210}}}z^{3}}}}$

일반적으로, ${\displaystyle \exp(x)}$의 ${\displaystyle (m,n)}$차 파데 근사는

${\displaystyle R_{m,n}(x)={\frac {{}_{1}F_{1}(-m;-m-n;x)}{{}_{1}F_{1}(-n;-m-n;-x)}}}$

이다. 여기서 ${\displaystyle {}_{1}F_{1}}$은 초기하 함수의 하나이다.

역사

프랑스의 수학자 앙리 외젠 파데(프랑스어: Henri Eugène Padé, 1863~1953)가 박사 학위 논문에서 도입하였다.

참고 문헌

• Baker, George A., Jr.; P. Graves-Morris (1996). 《Padé Approximants》 (영어). Cambridge University Press. 더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
• Baker, George A., Jr. “Padé approximant”. 《Scholarpedia》 (영어) 7 (6): 9756. doi:10.4249/scholarpedia.9756. ISSN 1941-6016.
• Brezinski, C.; M. Redivo Zaglia (1991). 《Extrapolation Methods. Theory and Practice》 (영어). North-Holland. 더 이상 지원되지 않는 변수를 사용함 (도움말)
• Van Assche, Walter (2006). “Padé and Hermite–Padé approximation and orthogonality”. 《Surveys in Approximation Theory》 (영어) 2: 61-91. arXiv:math/0609094. Bibcode:2006math......9094V. |저널=에 외부 링크가 있음 (도움말)

외부 링크

• “Padé approximation”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Padé approximant”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.