파스칼 행렬

수학에서, 파스칼 행렬(영어: Pascal matrix)은 이항 계수를 성분으로 하는 정사각 행렬들이다.

정의

${\displaystyle n\times n}$ 파스칼 행렬

${\displaystyle S_{n},L_{n},U_{n}\in \operatorname {Mat} (n;\mathbb {Z} )}$

은 다음과 같다.

${\displaystyle (S_{n})_{ij}={\binom {i+j}{j}}}$

${\displaystyle (L_{n})_{ij}={\binom {i}{j}}}$

${\displaystyle (U_{n})_{ij}={\binom {j}{i}}\qquad i,j\in \{0,1,\dots ,n-1\}}$

성질

${\displaystyle S_{n}}$은 대칭 행렬, ${\displaystyle L_{n}}$은 하삼각 행렬, ${\displaystyle U_{n}}$은 상삼각 행렬이다. 이들 사이에 다음과 같은 관계식이 성립한다.

${\displaystyle U_{n}=L_{n}^{\operatorname {T} }}$

${\displaystyle S_{n}=L_{n}U_{n}}$

파스칼 행렬의 행렬식은 1이다.

${\displaystyle \det S_{n}=\det L_{n}=\det U_{n}=1}$

파스칼 행렬의 역행렬은 다음과 같다.

${\displaystyle (S_{n}^{-1})_{ij}=(-1)^{i-j}\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {k}{i}}{\binom {k}{j}}}$

${\displaystyle (L_{n}^{-1})_{ij}=(-1)^{i-j}{\binom {i}{j}}}$

${\displaystyle (U_{n}^{-1})_{ij}=(-1)^{j-i}{\binom {j}{i}}}$

예

4×4 파스칼 행렬은 다음과 같다.

${\displaystyle S_{4}={\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&2&3&4\\1&3&6&10\\1&4&10&20\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle L_{4}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\1&1&0&0\\1&2&1&0\\1&3&3&1\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle U_{4}={\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&1&2&3\\0&0&1&3\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$

응용

조합론

다음이 주어졌다고 하자.

• 유한 집합 ${\displaystyle S}$
• 유한 개의 부분 집합 ${\displaystyle S_{1},\dots ,S_{n}\subseteq S}$

이제, 임의의 ${\displaystyle k\in \{0,1,\dots ,n\}}$에 대하여

${\displaystyle x_{k}=\sum _{1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n}|S_{i_{1}}\cap \cdots \cap S_{i_{k}}|}$

${\displaystyle y_{k}=|\{s\in S\colon |\{i\colon s\in S_{i}\}|=k\}|}$

라고 하자. 이 두 벡터 사이의 관계는 파스칼 행렬 ${\displaystyle U_{n+1}}$을 계수로 하는 연립 일차 방정식으로 주어진다.

${\displaystyle x_{k}=\sum _{r=k}^{n}{\binom {r}{k}}y_{r}}$

${\displaystyle y_{k}=\sum _{r=k}^{n}(-1)^{r-k}{\binom {r}{k}}x_{r}}$

두 번째 식에서 ${\displaystyle k=0}$은 포함배제의 원리다.

수치해석학

파스칼 행렬은 흔히 사용되는 시험 행렬(영어: test matrix) 가운데 하나다.^{[1]:518–521, §28.4}