목걸이 (조합론)

조합론에서 목걸이(영어: necklace)는 순환군의 작용에 대한 문자열의 궤도이다.

정의

목걸이

임의의 집합 ${\displaystyle C}$가 주어졌다고 하자. ${\displaystyle C}$ 위의 길이 ${\displaystyle n}$의 문자열 집합 ${\displaystyle C^{n}}$을 생각할 수 있다. ${\displaystyle C^{n}}$ 위에는 ${\displaystyle n}$차 순환군 ${\displaystyle \operatorname {Cyc} (n)=\langle a|a^{n}=1\rangle }$은 다음과 같이 자연스럽게 작용한다.

${\displaystyle a^{k}\colon c_{0}c_{1}\cdots c_{n-1}\mapsto c_{k}c_{k+1}\cdots c_{n-1}c_{0}\cdots c_{k-1}}$

보다 일반적으로, 크기 ${\displaystyle 2n}$의 정이면체군 ${\displaystyle \operatorname {Dih} (n)=\langle a,b|a^{n}=b^{2}=1,\;(ba)^{2}=1\rangle }$은 다음과 같이 자연스럽게 작용한다.

${\displaystyle a^{k}\colon c_{0}c_{1}\cdots c_{n-1}\mapsto c_{k}c_{k+1}\cdots c_{n-1}c_{0}\cdots c_{k-1}}$

${\displaystyle b\colon c_{0}c_{1}\cdots c_{n-1}\mapsto c_{n-1}\cdots c_{1}c_{0}}$

임의의 집합 ${\displaystyle C}$가 주어졌을 때, ${\displaystyle C}$ 속의 색깔을 갖는, 길이 ${\displaystyle n}$의 목걸이(영어: necklace)는 ${\displaystyle C^{n}}$ 위의, ${\displaystyle \operatorname {Cyc} (n)}$ 작용에 대한 궤도이다. ${\displaystyle C}$ 속의 색깔을 갖는, 길이 ${\displaystyle n}$의 팔찌(영어: bracelet)는 ${\displaystyle C^{n}}$ 위의, ${\displaystyle \operatorname {Dih} (n)}$ 작용에 대한 궤도이다.

비주기적 목걸이(非週期的-, 영어: aperiodic necklace)는 안정자군이 자명군인 목걸이이다. 임의의 목걸이는 비주기적 목걸이의 반복으로 표준적으로 나타낼 수 있다. 즉, 길이 ${\displaystyle n}$의 목걸이는 ${\displaystyle n}$의 어떤 약수 ${\displaystyle d}$에 대하여, 길이 ${\displaystyle d}$의 비주기적 목걸이의 ${\displaystyle n/d}$번 반복으로 나타낼 수 있다.

성질

목걸이와 팔찌의 수는 포여 열거 정리를 사용하여 계산할 수 있다.

목걸이의 수

${\displaystyle x}$개의 색깔을 가질 수 있는, 길이가 ${\displaystyle n}$인 목걸이의 수는 다음과 같은 다항식렬로 주어진다.

${\displaystyle N_{n}(x)\in \mathbb {Q} [x]}$

${\displaystyle N_{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{d\mid n}\varphi (n/d)x^{d}}$

여기서 ${\displaystyle \varphi }$는 오일러 피 함수이다.

팔찌의 수

${\displaystyle x}$개의 색깔을 가질 수 있는, 길이가 ${\displaystyle n}$인 팔찌의 수는 다음과 같은 다항식렬로 주어진다.

${\displaystyle B_{n}(x)\in \mathbb {Q} [x]}$

${\displaystyle B_{n}(x)={\frac {1}{2}}N_{n}(x)+{\begin{cases}(x+1)x^{n/2}/4&2\mid n\\\\x^{(n+1)/2}/2&2\nmid n\end{cases}}}$

비주기적 목걸이의 수

${\displaystyle x}$개의 색깔을 가질 수 있는, 길이가 ${\displaystyle n}$인 팔찌의 수는 다음과 같은 다항식렬로 주어진다.

${\displaystyle M_{n}(x)\in \mathbb {Q} [x]}$

${\displaystyle M_{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{d\mid n}\mu (n/d)x^{d}}$

이를 목걸이 다항식(-多項式, 영어: necklace polynomial)이라고 한다. 여기서 ${\displaystyle \mu }$는 뫼비우스 함수이다. 모든 목걸이는 비주기적 목걸이로 분해할 수 있으므로

${\displaystyle N_{n}(x)=\sum _{d\mid n}M_{d}(x)}$

이다.

목걸이 다항식의 공식은 다음과 같이 유도할 수 있다. 우선, ${\displaystyle x^{n}}$은 순환군의 작용에 대한 궤도들의 크기의 합이므로, 다음 공식이 성립한다.

${\displaystyle x^{n}=\sum _{d\mid n}dM_{d}(x)}$

이를 뫼비우스 반전 공식에 따라 풀면 다음과 같다.

${\displaystyle M_{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{d\mid n}\mu (n/d)x^{d}}$

특히, 임의의 소수 ${\displaystyle p}$에 대하여,

${\displaystyle M_{p^{n}}(x)=p^{-n}\left(x^{p^{n}}-x^{p^{n-1}}\right)}$

이다.

표

처음 몇 개의 목걸이 다항식은 다음과 같다.

${\displaystyle n}$	${\displaystyle N_{n}(x)}$	${\displaystyle B_{n}(x)}$	${\displaystyle M_{n}(x)}$
1	${\displaystyle x}$	${\displaystyle x}$	${\displaystyle x}$
2	${\displaystyle (x^{2}+x)/2}$	${\displaystyle (x^{2}+x^{2}+2x)/4}$	${\displaystyle (x^{2}-x)/2}$
3	${\displaystyle (x^{3}+2x)/3}$	${\displaystyle (x^{3}+3x^{2}+2x)/6}$	${\displaystyle (x^{3}-x)/3}$
4	${\displaystyle (x^{4}+x^{2}+2x)/4}$	${\displaystyle (x^{4}+2x^{3}+3x^{2}+2x)/8}$	${\displaystyle (x^{4}-x^{2})/4}$
5	${\displaystyle (x^{5}+4x)/5}$	${\displaystyle (x^{5}+5x^{3}+4x)/10}$	${\displaystyle (x^{5}-x)/5}$
6	${\displaystyle (x^{6}+x^{3}+2x^{2}+2x)/6}$	${\displaystyle (x^{6}+3x^{4}+4x^{3}+2x^{2}+2x)/12}$	${\displaystyle (x^{6}-x^{3}-x^{2}+x)/6}$

응용

목걸이 다항식 ${\displaystyle M_{n}(x)}$는 다음과 같은 수학 분야에서 등장한다.

• ${\displaystyle x}$개의 문자로 구성된 알파벳 위의 길이 ${\displaystyle n}$의 린던 단어의 수
• 크기 ${\displaystyle x}$의 집합으로 생성되는 자유 리 대수의, 차수 ${\displaystyle n}$ 부분 공간의 차원
• 크기 ${\displaystyle x=p^{k}}$의 유한체 위의 ${\displaystyle n}$차 일계수 기약 다항식의 수
• 목걸이 항등식은 원분 항등식(영어: cyclotomic identity)에서 지수로 등장한다.

역사

샤를 폴 나르시스 모로(프랑스어: Charles Paul Narcisse Moreau)가 1872년에 최초로 목걸이의 열거 문제를 연구하였다.^[1]