팽르베 방정식

팽르베 방정식(영어: Painlevé transcendents)은 다음의 6개의 2차 비선형 해석적 상미분 방정식을 일컫는다.

${\displaystyle P_{\rm {I}}:{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=6y^{2}+x}$

${\displaystyle P_{\rm {II}}:{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=2y^{3}+xy+\alpha }$

${\displaystyle P_{\rm {III}}:{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {1}{y}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}-{\frac {1}{x}}{\frac {dy}{dx}}+{\frac {1}{x}}\left(\alpha y^{2}+\beta \right)+\gamma y^{3}+{\frac {\delta }{y}}}$

${\displaystyle P_{\rm {IV}}:{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {1}{2y}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}+{\frac {3}{2}}y^{3}+4xy^{2}+2\left(x^{2}-\alpha \right)+{\frac {\beta }{y}}}$

${\displaystyle P_{\rm {V}}:{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=\left({\frac {1}{2y}}+{\frac {1}{y-1}}\right)\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}-{\frac {1}{x}}{\frac {dy}{dx}}+{\frac {(y-1)^{2}}{x^{2}}}\left(\alpha y+{\frac {\beta }{y}}\right)+c{\frac {y}{x}}+\delta {\frac {y(y+1)}{y-1}}}$

${\displaystyle P_{\rm {VI}}:{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{y}}+{\frac {1}{y-1}}+{\frac {1}{y-x}}\right)\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}-\left({\frac {1}{x}}+{\frac {1}{x-1}}+{\frac {1}{y-x}}\right){\frac {dy}{dx}}}$

${\displaystyle +{\frac {y(y-1)(y-x)}{x^{2}(x-1)^{2}}}\left[\alpha +\beta {\frac {x}{y^{2}}}+\gamma {\frac {x-1}{(y-1)^{2}}}+\delta {\frac {x(x-1)}{(y-x)^{2}}}\right]}$

(※ α, β, γ, δ는 복소 상수이며, P_I ~ P_VI는 방정식의 이름을 나타낸다.)

정의

이하의 정리는 폴 팽르베에 의한 것이다.

R(a, b, c) 을 a의 도함수를 계수로 하는, b 와 c의 유리 함수라고 했을때,

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=R\left(x,y,{\frac {dy}{dx}}\right)}$

그것이 움직이는 분기점을 갖지 않는다면, 선형방정식, 타원함수의 방정식, 그 외에 구적가능(눈금 없는 자와 컴퍼스만으로 특정 도형의 면적과 같은 면적을 가진 정사각형의 작도가 가능)한 방정식 및 팽르베 방정식 가운데 하나로 전개되게 된다.

외부 링크

• Rozov, N.Kh. (2001). “Painlevé equation” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4.
• Ablowitz, M. (2001). “Painlevé-type equations” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Painleve transcendents” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Painleve property” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
• 高崎 金久. “Painlevé equations” (영어). 2008년 4월 6일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 6월 13일에 확인함.