편심이각

궤도역학에서 편심 이각(영어: eccentric anomaly)은 타원 케플러 궤도를 따라 움직이는 물체의 위치를 결정하는 궤도 요소이다. 편심 이각은 진근점 이각, 평균 근점 이각과 함께 궤도에서의 물체의 위치를 설명하는 각 변수이다.

시각적 묘사

물체의 위치 P와 편심 이각 E를 나타낸 그림. 타원의 중심은 C로, 타원의 초점은 F로 표시되어 있다.

타원을 다음과 같은 방정식으로 생각하자.

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

a는 궤도 긴반지름이고, b는 짧은반지름이다.

타원의 어떠한 점 P = P(x, y)에 대한 편심 이각에 대항하는 각 E가 오른쪽의 그림에 나와 있다. 편심 이각 E는 타원의 중심에 꼭짓점 하나를 찍고 빗변 a(궤도 긴반지름과 같다)를 그은 다음, 긴반지름 빗변과 수직하면서 P에 닿도록 선분을 그어 만들어진 직각삼각형을 통해 관찰할 수 있다. 편심 이각은 진근점 이각과 같은 방향에서 측정되며, 그림에는 f로서 표시되어 있다.

위의 직각삼각형에서 편심 이각 E와 관련된 좌표는 다음과 같이 주어진다.^[1]

${\displaystyle \cos E={\frac {x}{a}}}$

${\displaystyle \sin E={\frac {y}{b}}}$

둘 사이의 관계를 통해 다음과 같은 식이 산출된다.

${\displaystyle {\left({\frac {y}{b}}\right)}^{2}=1-{\cos }^{2}E={\sin }^{2}E}$

이는 sin E = ±⁠y/b⁠임을 드러낸다. 이 때 sin E = −⁠y/b⁠는 타원을 반대 방향으로 돌 경우이므로 가능한 해에서 제외된다.

공식

반지름과 편심 이각

이심률 e는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle e={\sqrt {1-\left({\frac {b}{a}}\right)^{2}}}\ }$

피타고라스의 정리에 따라, r(FP)을 빗변으로 볼 경우 다음이 성립한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}r^{2}&=b^{2}\sin ^{2}E+(ae-a\cos E)^{2}\\&=a^{2}(1-e^{2})(1-\cos ^{2}E)+a^{2}(e^{2}-2e\cos E+\cos ^{2}E)\\&=a^{2}-2a^{2}e\cos E+a^{2}e^{2}\cos ^{2}E\\&=a^{2}(1-e\cos E)^{2}\\\end{aligned}}}$

따라서, 반지름(P와 초점 사이의 거리)과 편심 이각의 관계는 다음 공식과 같다.

${\displaystyle r=a\left(1-e\cos {E}\right)}$

이 결과를 통해, 후술되듯 편심 이각은 진근점 이각으로부터 정의될 수 있다.

진근점 이각으로부터

진근점 이각은 위의 그림에 f로 표시되어 있는 각도이고, θ로 표기된다. 편심 이각과 진근점 이각은 밑에 보여지는 것과 같은 관계가 있다.^[2]

위에서 유도하였던 r에 대한 방정식을 사용하여, E의 사인과 코사인 값은 θ로 표현될 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos E&={\frac {x}{a}}={\frac {ae+r\cos \theta }{a}}=e+(1-e\cos E)\cos \theta \ \to \ \cos E={\frac {e+\cos \theta }{1+e\cos \theta }}\\\sin E&={\sqrt {1-\cos ^{2}E}}={\frac {{\sqrt {1-e^{2}}}\,\sin \theta }{1+e\cos \theta }}\ .\end{aligned}}}$

따라서,

${\displaystyle \tan E={\frac {\sin E}{\cos E}}={\frac {{\sqrt {1-e^{2}}}\sin \theta }{e+\cos \theta }}\ }$

따라서 각도 E는 빗변의 길이가 1 + e cos θ, 인접변의 길이가 e + cos θ, 그리고 반댓변의 길이가 √1 − e² sin θ인 직각삼각형의 각도이다.

또한,

${\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}\cdot \tan {\frac {E}{2}}}$

위의 r에 대한 방정식처럼 cos E를 빼면 반지름을 진근점 이각을 통해서 구할 수 있다.^[2]

${\displaystyle r={\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{1+e\cos \theta }}}$

평균 근점 이각으로부터

편심 이각 E는 케플러 방정식에 따라 평균 근점 이각 M과도 관계가 있다.^[3]

${\displaystyle M=E-e\sin E}$

이 식은 M에 대한 E의 폐형 해를 가지지 않고, 보통 뉴턴 방법 등을 통해 푼다.