편의 추정량

편의추정량(偏倚推定量, Bias of an estimator 또는 biased estimator)은 통계학에서 기댓값이 모수와 다른 추정량이다.

표본 분산

모집단의 분산(모 분산,population variance)은 ${\displaystyle \sigma ^{2}}$로 나타내고, 표본 분산(sample variance)은 ${\displaystyle s^{2}}$로 나타낸다. ${\displaystyle s^{2}}$은 모집단 분산의 추정치라고 할 수 있다. 표본 내의 어떤 변인 ${\displaystyle y}$가 가지는 모집단 분산의 추정치인 표본 분산 ${\displaystyle s^{2}}$는 다음과 같다.

${\displaystyle s^{2}={\frac {\Sigma (y-{\overline {y}})^{2}}{n-1}}={\frac {SS}{df}}}$

${\displaystyle s^{2}}$: 표본 분산

${\displaystyle y}$: 변인

${\displaystyle {\overline {y}}}$: 표본의 평균

${\displaystyle n}$: 표본의 크기

${\displaystyle SS}$: 편차들의 제곱합

${\displaystyle df}$: 자유도

이는 모평균이 아닌 표본 평균을 사용했기 때문에 샘플수 n을 1로 뺀 분모에서 나누는 기댓값을 적용해 분산을 계산함으로써 모집단의 샘플에서 편의 추정량(biased estimator)으로부터 표본 분산이 불편 추정량(unbiased estimator)에 근사한다고 본다.

기댓값 근사

${\displaystyle E(s^{2})=E\left({{\sum (y_{i}-{\overline {y}})^{2}} \over {n-1}}\right)}$

표본분산 ${\displaystyle s^{2}}$와 모분산 ${\displaystyle \sigma ^{2}}$에서 ${\displaystyle s^{2}={\sigma ^{2}}}$를 가정하고 ${\displaystyle {{\Sigma y_{i}} \over {n}}={\overline {y}}}$에서 기댓값(E,expected value)를 유도할 수 있다.

${\displaystyle E(s^{2})={\sigma ^{2}}}$

${\displaystyle E(s^{2})={{n-1} \over {n-1}}\sigma ^{2}}$

${\displaystyle E(s^{2})={{1} \over {n-1}}\left(n-1\right)\sigma ^{2}}$

${\displaystyle E(s^{2})={{1} \over {n-1}}\left(n\sigma ^{2}-{\sigma ^{2}}\right)}$

${\displaystyle E(s^{2})={{1} \over {n-1}}\left(n\left(\sum {{(Y_{i}-{\overline {\mu }})^{2}} \over {n}}\right)-\left(\sum {{(Y_{i}-{\overline {\mu }})^{2}} \over {n}}\right)\right)}$

${\displaystyle E(s^{2})={{1} \over {n-1}}\left(\sum \left(E({y_{i}}-{\overline {\mu }})^{2}\right)-\sum \left(E\left({\overline {y}}-{\overline {\mu }}\right)^{2}\right)\right)}$

${\displaystyle E(s^{2})={{1} \over {n-1}}\left(E\left(\sum ({y_{i}}-{\overline {\mu }})^{2}\right)-E\left(\sum ({\overline {y}}-{\overline {\mu }})^{2}\right)\right)}$

${\displaystyle E(s^{2})={{1} \over {n-1}}E\left(\sum ({y_{i}}-{\overline {\mu }})^{2}-\sum ({\overline {y}}-{\overline {\mu }})^{2}\right)}$

${\displaystyle E(s^{2})={{1} \over {n-1}}E\left(\sum \left((y_{i}-{\overline {\mu }})^{2}-({\overline {y}}-{\overline {\mu }})^{2}\right)\right)}$

${\displaystyle E(s^{2})={{1} \over {n-1}}E\left(\sum \left((y_{i}-{\overline {\mu }})-({\overline {y}}-{\overline {\mu }})\right)^{2}\right)}$

${\displaystyle E(s^{2})={{1} \over {n-1}}E\left(\sum \left(y_{i}-{\overline {\mu }}+{\overline {\mu }}-{\overline {y}}\right)^{2}\right)}$

${\displaystyle E(s^{2})={{1} \over {n-1}}E\left(\sum \left(y_{i}-{\overline {y}}\right)^{2}\right)}$

${\displaystyle E(s^{2})=E\left({{\sum (y_{i}-{\overline {y}})^{2}} \over {n-1}}\right)}$

같이 보기

• 불편 추정량
• 공분산
• 피어슨 상관계수
• 표준편차
• 동분산성