평사도법

평사도법(平射圖法, stereographic projection)은 지도 투영법에서 극사영을 부르는 말로 정각도법이다. 타원체에 맞게 변형한 것을 포함한다.

공식

극을 투영 원점으로 삼았을 때, 위도를 ${\displaystyle \phi }$, 지도상의 거리를 ${\displaystyle r}$이라 하면 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle r=2(\sec \phi -\tan \phi )}$

증명

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정각성에 의해 다음이 성립한다.

${\displaystyle -{\frac {d\phi }{\cos \phi \,d\lambda }}={\frac {dr}{r\,d\lambda }}}$

${\displaystyle {\frac {dr}{r}}=-\sec \phi \,d\phi }$

${\displaystyle \log r=\log(\sec \phi -\tan \phi )+C}$

이제 ${\displaystyle C}$를 구하면 된다. 투영 원점 근처에서는 길이가 보존되어야 하므로, ${\displaystyle r'({\frac {\pi }{2}})=-1}$이다.

위의 식에서 ${\displaystyle {\frac {dr}{d\phi }}=e^{C}({\sec \phi \tan \phi -\sec ^{2}\phi })}$ 이므로,

${\displaystyle -1=r'({\frac {\pi }{2}})=\lim _{\phi \to {\frac {\pi }{2}}^{-}}e^{C}({\sec \phi \tan \phi -\sec ^{2}\phi })=e^{C}\lim _{\phi \to {\frac {\pi }{2}}^{-}}{\frac {\sin \phi -1}{\cos ^{2}\phi }}=-{\frac {e^{C}}{2}}}$

따라서 ${\displaystyle e^{C}=2}$ 가 된다.