포스트니코프 탑

호모토피 이론에서 포스트니코프 탑(Постников塔, 영어: Postnikov tower)은 위상 공간을 그 호모토피 군들로부터 재구성하는 방법이다.

정의

경로 연결 공간 ${\displaystyle X}$의 포스트니코프 탑은 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• 위상 공간들의 열 ${\displaystyle X_{0},X_{1},X_{2},\dots }$
• 이들 사이의 연속 함수 ${\displaystyle f_{i}\colon X_{i}\to X_{i-1}}$, ${\displaystyle i=1,2,3,\dots }$

이들은 다음 조건들을 만족시켜야 한다.

• 각 ${\displaystyle X_{i}\to X_{i-1}}$은 올뭉치이다.
• ${\displaystyle \pi _{k}(X_{n})={\begin{cases}\pi _{k}(X)&k\leq n\\0&k>n\end{cases}}}$

성질

모든 경로 연결 공간은 포스트니코프 탑을 가지며, 이러한 포스트니코프 탑들은 호모토피 아래 서로 동치이다.

경로 연결 공간 ${\displaystyle X}$의 포스트니코프 탑 ${\displaystyle X_{\bullet }{\xrightarrow {f_{\bullet }}}X_{\bullet -1}}$이 주어졌을 때, ${\displaystyle X}$의 호모토피 유형을 다음과 같이 역극한으로 재구성할 수 있다.

${\displaystyle X\simeq \varprojlim _{n\to \infty }X_{n}}$

경로 연결 공간 ${\displaystyle X}$의 포스트니코프 탑 ${\displaystyle X_{\bullet }{\xrightarrow {f_{\bullet }}}X_{\bullet -1}}$이 주어졌을 때, 올뭉치 ${\displaystyle f_{i}\colon X\twoheadrightarrow X_{i-1}}$의 올 ${\displaystyle K_{n}}$은 (올뭉치 호모토피 군 긴 완전열에 따라서) 에일렌베르크-매클레인 공간 ${\displaystyle K(\pi _{n}(X),n)}$을 이룬다. 따라서, 포스트니코프 탑은 모든 경로 연결 공간을 이를 구성하는 에일렌베르크-매클레인 공간들로 분해하는 구조이다.

역사

미하일 미하일로비치 포스트니코프(러시아어: Михаи́л Миха́йлович По́стников)가 1951년에 도입하였다.^[1][2]

같이 보기

• 에일렌베르크-매클레인 공간