포커르-플랑크 방정식

확률 과정 이론에서, 포커르-플랑크 방정식(Fokker-Planck方程式, 영어: Fokker–Planck equation)은 어떤 이토 확률 과정의 확률 밀도 함수가 따르는 편미분 방정식이다. 이는 시간에 대하여 1차, 공간에 대하여 2차 편미분 방정식이다. 형식적으로, 슈뢰딩거 방정식의 윅 회전의 꼴이다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 확률 공간 ${\displaystyle \Omega }$
• ${\displaystyle \Omega }$ 위의 위너 확률 과정 ${\displaystyle (W_{t}\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{n})_{t\in [0,\infty )}}$
• ${\displaystyle W}$에 대한, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ 값의 이토 확률 과정 ${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}^{i}=f^{i}(t,X_{t})\,\mathrm {d} t+g^{i}{}_{j}(t,X_{t})\,\mathrm {d} W_{t}^{j}}$. 또한, ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{m}}$가 ${\displaystyle x}$에 대하여 1차 연속 미분 가능 함수이며, ${\displaystyle g\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$가 ${\displaystyle x}$에 대하여 2차 연속 미분 가능 함수라고 하자.

편의상, 다음 행렬을 정의하자. 이는 이토 확률 과정의 분산을 나타낸다.

${\displaystyle D\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle D^{ij}(x,t)={\frac {1}{2}}\sum _{k}g^{i}{}_{k}(x,t)g^{j}{}_{k}(x,t)}$

이 경우, 이 이토 확률 과정에 대응되는 포커르-플랑크 방정식은 함수

${\displaystyle p\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle p\colon (t,x)\mapsto p(t,x)}$

에 대한, 다음과 같은 편미분 방정식이다.

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}p(t,x)+{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\left(f^{i}(t,x)p(t,x)\right)-{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\left(D^{ij}(t,x)p(t,x)\right)=0}$

(편의상 아인슈타인 표기법을 사용하였다.)

성질

이토 확률 과정의, 시간 ${\displaystyle t}$에서의 확률 밀도 함수 ${\displaystyle p(t,x)}$는 포커르-플랑크 방정식을 따른다.

예

위너 확률 과정 ${\displaystyle W_{t}}$는 ${\displaystyle f=0}$, ${\displaystyle g^{i}{}_{j}=\delta _{j}^{i}}$인 이토 확률 과정이다. 이 경우 포커르-플랑크 방정식은

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}p(t,x)={\frac {1}{2}}\Delta p(t,x)}$

가 된다. 이는 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ 위의 열 방정식이다.

역사

아드리안 다니얼 포커르(네덜란드어: Adriaan Daniël Fokker, 1887〜1972)와 막스 플랑크가 도입하였다.

같이 보기

• 볼츠만 운송 방정식

외부 링크

• “Fokker-Planck equation”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.