표준 오차

표준 오차(標準誤差, 영어: standard error, SE)는 통계의 표본 분포의 표준 편차이다.^[1] 평균의 표준 오차(平均- 標準誤差, 영어: standard error of the mean, SEM)는 표본 평균 분포의 표준 편차를 가리킨다. 표준오차는 단관측에 대한 표준편차를 ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$로 나눈 것과 같다. ${\displaystyle {\bar {x}}}$를 표본 평균, ν를 잔차라 할 때,

${\displaystyle \sigma =\pm {\sqrt {\frac {\Sigma (x-{\bar {x}})^{2}}{n(n-1)}}}=\pm {\sqrt {\frac {\Sigma \nu ^{2}}{n(n-1)}}}}$

만일 경중률이 다르다면 다음과 같이 계산한다. 경중률을 w라 할 때,^[2]

${\displaystyle \sigma =\pm {\sqrt {\frac {\Sigma w(x-{\bar {x}})^{2}}{(\Sigma w)(n-1)}}}=\pm {\sqrt {\frac {\Sigma w\nu ^{2}}{(\Sigma w)(n-1)}}}}$

모 평균에 대한 표준 오차(standard error of the mean, SEM)는

${\displaystyle {\sigma }_{\bar {x}}\ ={\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}}$이다.

σ는 모집단 표준편차(standard deviation), n은 모집단의 크기

${\displaystyle {\sigma }_{\bar {x}}\ \approx {\frac {s}{\sqrt {n}}}}$

표본 표준 편차 s를 이용하여 근사값으로 구하기

${\displaystyle {\text{s}}_{\bar {x}}\ ={\frac {s}{\sqrt {n}}}}$

s는 표본의 표준편차(standard deviation), n은 표본의 크기

표본 평균에 대한 표준 편차는 표본 평균의 오차에 대한 표준 편차와 동일하다. 이러한 맥락은 중심극한정리(CLT)를 의미한다.

중심극한정리의 예

모집단에서 취한 표본 평균값의 분포는 표본 수가 커질수록 평균값을 중심으로 하는 정규 분포에 가까워진다고하는 중심극한정리의 예는 다음과 같다.

표준편차의 정의에 의해서 확률변수 ${\displaystyle X}$의 모 집단의 표준 편차 ${\displaystyle \sigma _{X}}$가

${\displaystyle \sigma _{X}={\sqrt {\operatorname {E} ((X-\operatorname {E} (X))^{2})}}}$ 일때

분산의 정의에 의해서 확률변수 ${\displaystyle X}$의 기댓값(혹은 평균) ${\displaystyle \mu =\operatorname {E} (X)}$ 일 때, 분산 ${\displaystyle \operatorname {var} (X)}$는 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {var} (X)=\operatorname {E} ((X-\mu )^{2})}$

따라서 표본 평균(sample mean) ${\displaystyle {\overline {X}}}$는

${\displaystyle \sigma _{X}^{2}=\operatorname {E} \left(\left({\overline {X}}-\operatorname {E} \left({\overline {X}}\right)\right)^{2}\right)}$

${\displaystyle var\left({\overline {X}}\right)=\sigma _{X}^{2}}$

${\displaystyle var\left({{X_{1}+X_{2}+X_{3}+\cdots +X_{n}} \over {n}}\right)=\sigma _{X}^{2}}$

${\displaystyle var\left({{1} \over {n}}\left(X_{1}+X_{2}+X_{3}+\cdots +X_{n}\right)\right)=\sigma _{X}^{2}}$

${\displaystyle {{1} \over {n}}\left(var\left({{1} \over {n}}\left(X_{1}+X_{2}+X_{3}+\cdots +X_{n}\right)\right)\right)={{1} \over {n}}\left(\sigma _{X}^{2}\right)}$

${\displaystyle {{1} \over {n^{2}}}\left(var\left(X_{1}+X_{2}+X_{3}+\cdots +X_{n}\right)\right)={{\sigma _{X}^{2}} \over {n}}}$

${\displaystyle {{1} \over {n^{2}}}\left(var(X_{1})+var(X_{2})+var(X_{3})+\cdots +var(X_{n})\right)={{\sigma _{X}^{2}} \over {n}}}$

${\displaystyle {{1} \over {n^{2}}}var(X_{1})+{{1} \over {n^{2}}}var(X_{2})+{{1} \over {n^{2}}}var(X_{3})+\cdots +{{1} \over {n^{2}}}var(X_{n})={{\sigma _{X}^{2}} \over {n}}}$

${\displaystyle {{1} \over {n^{2}}}\sigma _{X}^{2}+{{1} \over {n^{2}}}\sigma _{X}^{2}+{{1} \over {n^{2}}}\sigma _{X}^{2}+\cdots +{{1} \over {n^{2}}}\sigma _{X}^{2}={{\sigma _{X}^{2}} \over {n}}}$

${\displaystyle \left({{1+1+1+\cdots +1} \over {n^{2}}}\right)\sigma _{X}^{2}={{\sigma _{X}^{2}} \over {n}}}$

${\displaystyle {{n} \over {n^{2}}}\sigma _{X}^{2}={{\sigma _{X}^{2}} \over {n}}}$

${\displaystyle {{1} \over {n}}\sigma _{X}^{2}={{1} \over {n}}\sigma _{X}^{2}}$

${\displaystyle \sigma _{X}^{2}=\sigma _{X}^{2}}$

같이 보기

• 변동 계수
• 표본 평균의 분포
• Z검정
• 중심 극한 정리
• 승산비