푹스군

수학에서 푹스군(Fuchs群, 영어: Fuchsian group)은 ${\displaystyle PSL(2;\mathbb {R} )}$의 이산 부분군이다.

정의

상반평면 ${\displaystyle \mathbb {H} =\{\tau \in \mathbb {C} \colon \operatorname {Im} \tau >0\}}$ 위에 다음과 같은 쌍곡 계량을 주자. (${\displaystyle \tau =x+iy}$)

${\displaystyle ds=y^{-1}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}}$

이 계량에 대한 등거리변환은 뫼비우스 변환이다.

푹스군은 다음 조건을 만족시키는 ${\displaystyle \operatorname {PSL} (2;\mathbb {R} )}$의 부분군 ${\displaystyle G}$이다.

• 모든 ${\displaystyle \tau \in \mathbb {H} }$에 대하여, ${\displaystyle G}$-작용의 궤도 ${\displaystyle G\tau }$가 극한점을 갖지 않는다.

보다 일반적으로, ${\displaystyle \operatorname {PSL} (2;\mathbb {C} )}$에 대한 푹스 군도 정의할 수 있다.

예

가장 대표적인 예로, 모듈러 군 ${\displaystyle \operatorname {PSL} (2;\mathbb {Z} )}$가 있다. 또한 모듈러 군의 주동형 부분군 ${\displaystyle \Gamma (N)}$ 또한 푹스 군이다.

역사

앙리 푸앵카레가 라차루스 푹스의 1880년 논문^[1] 으로부터 영감을 얻어 1882년 정의하였고, 푹스의 이름을 땄다.^[2]