프레셰 도함수

함수해석학에서 프레셰 도함수(영어: Fréchet derivative)는 두 바나흐 공간 사이의 함수에 대하여 정의할 수 있는 도함수이다. 가토 도함수보다 더 강한 개념이다. 즉, 어떤 바나흐 공간 위의 함수가 프레셰 미분가능이라면 그 함수는 가토 미분가능하지만, 그 역은 성립하지 않는다.

정의

두 바나흐 공간 ${\displaystyle V,W}$ 사이의 함수 ${\displaystyle f\colon V\to W}$ 및 ${\displaystyle v\in V}$에 대하여, 다음 성질을 만족시키는 유계 작용소 ${\displaystyle D_{v}f\colon V\to W}$가 존재한다면, ${\displaystyle f}$를 ${\displaystyle v}$에서 프레셰 미분 가능하다고 하고, ${\displaystyle D_{v}f}$를 ${\displaystyle f}$의 ${\displaystyle v}$에서의 프레셰 도함수라고 한다.

${\displaystyle \lim _{\epsilon \to 0}{\frac {\Vert f(v+\epsilon )-f(v)-D_{v}f(\epsilon )\Vert }{\Vert \epsilon \Vert }}=0}$

즉, 함수

${\displaystyle g\colon V\setminus \{0\}\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle g\colon \epsilon \mapsto {\frac {\Vert f(v+\epsilon )-f(v)-D_{v}f(\epsilon )\Vert }{\Vert \epsilon \Vert }}}$

가 ${\displaystyle \epsilon =0}$에서 극한 0을 가져야 한다.

성질

만약 함수 ${\displaystyle f\colon V\to W}$가 ${\displaystyle v\in V}$에서 프레셰 미분 가능하다면, ${\displaystyle f}$는 ${\displaystyle v}$에서 가토 미분 가능하다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다. 만약 ${\displaystyle f\colon V\to W}$의 ${\displaystyle v\in V}$에서의 프레셰 도함수가 ${\displaystyle D_{v}f}$라면, ${\displaystyle v}$에서의, ${\displaystyle u\in V}$ 방향의 가토 도함수는 ${\displaystyle D_{v}f(u)}$이다.

외부 링크

• “Fréchet derivative”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Fréchet derivative”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.

같이 보기

• 가토 도함수